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正六邊形鑲嵌

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正六邊形鑲嵌
正六邊形鑲嵌
類別正鑲嵌
對偶多面體正三角形鑲嵌
識別
鮑爾斯縮寫
（verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）		hexat在维基数据编辑
數學表示法
考克斯特符號
（英语：Coxeter-Dynkin diagram）		node_1 6 node 3 node 
node 6 node_1 3 node_1 
node_1 split1 branch_11 
施萊夫利符號{6,3}
t0,1{3,6}
威佐夫符號
（英语：Wythoff symbol）		3 | 6 2
2 6 | 3
3 3 3 |
康威表示法H
性質
二面角180度(平角)
組成與佈局
頂點圖6.6.6 (or 63)
頂點佈局
（英语：Vertex_configuration）		63
對稱性
對稱群p6m, [6,3], (*632)
旋轉對稱群
（英語：Rotation_groups）		p6, [6,3]+, (632)
圖像
Hexagonal tiling vertfig.png
6.6.6 (or 63)
（頂點圖）
Uniform tiling 63-t2.png
正三角形鑲嵌
（對偶多面體）

在幾何學中，正六邊形鑲嵌是一種平面鑲嵌，由正六邊形重覆組合排列而成，且填滿整個平面，而且沒有任何空隙或重疊，由於皆由正多邊形組成，因此稱為正鑲嵌圖。正六邊形鑲嵌是三维欧几里得空间中三个正密铺之一。另外两个分别是正三角形镶嵌和正方形镶嵌。

康威將之稱為hextille。

由於正六邊形鑲嵌是由正六邊形組成，又因正六邊形內角為120°，因此每個頂點周圍都有3個正六邊形，且剛好占滿360°，才能填滿平面。

在施萊夫利符號中，正六邊形鑲嵌可用{6,3}或t{3,6}表示。

圆堆砌[编辑]

正六边形镶嵌可以被用来进行圆堆砌（英语：Circle packing），以其每个顶点为圆心放置等直径的圆。在这个堆砌里，每个圆都与3个相邻圆接触（接触数（英语：Kissing number problem））。每个正六边形中间的部分实际上还可以再放入一个圆，这样我们就会得到二维最密圆堆砌——正三角形镶嵌式圆堆砌，这时接触数达到最大值6。

Hexagonal tiling circle packing.png

半正涂色[编辑]

正六边形镶嵌共有3种不同的半正涂色（英语：Uniform coloring），都可以由Wythoff（英语：Wythoff constructions）镜面对称构造出来。(h,k)表示一种涂色的面周期性重复，以正六边形距离h、k计数，h在先，k在后。

k阶半正 一阶半正 二阶半正 三阶半正
图像 Uniform tiling 63-t0.png Uniform tiling 63-t12.png Uniform tiling 333-t012.png Truncated rhombille tiling.png Hexagonal tiling 4-colors.png Hexagonal tiling 2-1.png Hexagonal tiling 7-colors.png
颜色数 1 2 3 2 4 2 7
(h,k) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)
施莱夫利符号 {6,3} t{3,6} t0,1,2{3[3]}
Wythoff符号（英语：Wythoff symbol） 3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 |
对称性 *632
(p6m)
[6,3] 		*333
(p3)
[3[3]] 		*632
(p6m)
[6,3] 		632
(p6)
[6,3]+
考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram） node_1 6 node 3 node  node_1 3 node_1 6 node  node_1 split1 branch_11 
康威多面体符号 H tH teH t6daH t6dateH t6dsH

其中三色正六边形镶嵌是一个由三阶全序多胞形（英语：permutohedron）产生的镶嵌。

相关半正镶嵌[编辑]

正六边形镶嵌可以通过截角操作得到一系列与之相关的半正镶嵌，其与正六边形镶嵌拥有相似的对称性：

正三角形镶嵌家族的半正镶嵌
对称性: [6,3], (*632) [6,3]+, (632) [1+,6,3], (*333) [6,3+], (3*3)
node_1 6 node 3 node  node_1 6 node_1 3 node  node 6 node_1 3 node  node 6 node_1 3 node_1  node 6 node 3 node_1  node_1 6 node 3 node_1  node_1 6 node_1 3 node_1  node_h 6 node_h 3 node_h  node_h 6 node 3 node  node 6 node_h 3 node_h 
Uniform tiling 63-t0.png Uniform tiling 63-t01.png Uniform tiling 63-t1.png Uniform tiling 63-t12.png Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 63-t02.png Uniform tiling 63-t012.png Uniform tiling 63-snub.png Uniform tiling 333-t1.png Uniform tiling 63-h12.png
{6,3} t0,1{6,3} t1{6,3} t1,2{6,3} t2{6,3} t0,2{6,3} t0,1,2{6,3} s{6,3} h{6,3} h1,2{6,3}
半正对偶
node_f1 6 node 3 node  node_f1 6 node_f1 3 node  node 6 node_f1 3 node  node 6 node_f1 3 node_f1  node 6 node 3 node_f1  node_f1 6 node 3 node_f1  node_f1 6 node_f1 3 node_f1  node_fh 6 node_fh 3 node_fh  node_fh 6 node 3 node  node 6 node_fh 3 node_fh 
Uniform tiling 63-t2.png Tiling Dual Semiregular V3-12-12 Triakis Triangular.svg Rhombic star tiling.png Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 63-t0.png Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg Tiling Dual Semiregular V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg Uniform tiling 63-t0.png
V6.6.6 V3.12.12 V3.6.3.6 V6.6.6 V3.3.3.3.3.3 V3.4.12.4 V.4.6.12 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.3.3

正六边形镶嵌在拓扑上与一系列一直延伸到双曲镶嵌的顶点图为n3的（广义）多面体相关：

多面体 欧式镶嵌 双曲镶嵌
Spherical trigonal hosohedron.png
{2,3}
node_1 2 node 3 node  		Uniform polyhedron-33-t0.png
{3,3}
node_1 3 node 3 node  		Uniform polyhedron-43-t0.png
{4,3}
node_1 4 node 3 node  		Uniform polyhedron-53-t0.png
{5,3}
node_1 5 node 3 node  		Uniform polyhedron-63-t0.png
{6,3}
node_1 6 node 3 node  		H2 tiling 237-1.png
{7,3}
node_1 7 node 3 node  		H2 tiling 238-1.png
{8,3}
node_1 8 node 3 node  		... H2 tiling 23i-1.png
{∞,3}
node_1 infin node 3 node 

（三阶）正六边形镶嵌在拓扑上与一系列面为正六边形的密铺相关联，这些镶嵌都可称之为“正六边形镶嵌”，所以我们以“n 阶”来区分，其施莱夫利符号为{6,n}，考克斯特符号（英语：Coxeter diagram）node_1 6 node n node ，一直到n = ∞：

球面 欧氏 双曲镶嵌
Hexagonal dihedron.png
{6,2}
node_1 6 node 2 node  		Uniform tiling 63-t0.png
{6,3}
node_1 6 node 3 node  		H2 tiling 246-1.png
{6,4}
node_1 6 node 4 node  		H2 tiling 256-1.png
{6,5}
node_1 6 node 5 node  		H2 tiling 266-4.png
{6,6}
node_1 6 node 6 node  		H2 tiling 267-4.png
{6,7}
node_1 6 node 7 node  		H2 tiling 268-4.png
{6,8}
node_1 6 node 8 node  		... H2 tiling 26i-4.png
{6,∞}
node_1 6 node infin node 

这个镶嵌还是一系列有考克斯特对称群[n,3]对称性的（半）截角菱形多面体或镶嵌的一员。立方体可以被看作是“菱形六面体”，这里菱形就是正方形。它们的截角形在原顶点处有正的多边形，而原来的菱形面则被截成了非正六边形。这一系列多面体或镶嵌有两种顶点图：(n.6.6)和(6,6,6)。

多面体 欧氏镶嵌 双曲镶嵌
[3,3] [4,3] [5,3] [6,3] [7,3] [8,3]
Hexahedron.svg
立方体 		Rhombicdodecahedron.jpg
菱形十二面体 		Rhombictriacontahedron.jpg
菱形三十面体 		Rhombic star tiling.png
菱形镶嵌 		Order73 qreg rhombic til.png Uniform dual tiling 433-t01-yellow.png
Alternate truncated cube.png
倒角四面體 		Truncated rhombic dodecahedron2.png
倒角立方體 		Truncated rhombic triacontahedron.png
倒角十二面體 		Truncated rhombille tiling.png
正六邊形鑲嵌

正六边形镶嵌亦可被看作延长菱形镶嵌，菱形镶嵌的每一个顶点都被延长成了新的棱。这类似于三维空间中的菱形十二面体堆砌和菱形六角化十二面体堆砌之间的关系。

Kah 3 6 romb.png
菱形镶嵌 		Uniform tiling 63-t0.png
正六边形镶嵌 		Chicken Wire close-up.jpg
利用这一关系的栅栏

基于正六边形镶嵌和正三角形镶嵌的Wythoff构建[编辑]

就像半正多面体一样，这里也有8个基于正六边形镶嵌（和正三角形镶嵌）的半正镶嵌。在以下的图片中，原有面对应的面被涂成了红色，原有顶点所对应的面被涂成了黄色，原有棱对应的面被涂成了蓝色。这8个半正镶嵌中，只有7个是拓扑上相异的。（截顶正三角形镶嵌与正六边形镶嵌在拓扑上相同）

正六边形镶嵌/正三角形镶嵌
对称性: [6,3], (*632) [6,3]+
(632) 		[1+,6,3]
(*333) 		[6,3+]
(3*3)
{6,3} t{6,3} r{6,3}
r{3[3]} 		t{3,6}
t{3[3]} 		{3,6}
{3[3]} 		rr{6,3}
s2{6,3} 		tr{6,3} sr{6,3} h{6,3}
{3[3]} 		h2{6,3}
r{3[3]} 		s{3,6}
s{3[3]}
node_1 6 node 3 node  node_1 6 node_1 3 node  node 6 node_1 3 node  node 6 node_1 3 node_1  node 6 node 3 node_1  node_1 6 node 3 node_1  node_1 6 node_1 3 node_1  node_h 6 node_h 3 node_h  node 6 node_h 3 node_h 
node_h0 6 node_1 3 node 
= branch_11 split2 node  		node_h0 6 node_1 3 node_1 
= branch_11 split2 node_1  		node_h0 6 node 3 node_1 
= branch split2 node_1  		node_1 6 node_h 3 node_h  node_h1 6 node 3 node  =
branch_10ru split2 node  or branch_01rd split2 node  		node_h1 6 node 3 node_1  =
branch_10ru split2 node_1  or branch_01rd split2 node_1  		node_h0 6 node_h 3 node_h 
= branch_hh split2 node_h 
Uniform tiling 63-t0.png Uniform tiling 63-t01.png Uniform tiling 63-t1.png
Uniform tiling 333-t01.png 		Uniform tiling 63-t12.png
Uniform tiling 333-t012.png 		Uniform tiling 63-t2.png
Uniform tiling 333-t2.png 		Uniform tiling 63-t02.png
Rhombitrihexagonal tiling snub edge coloring.png 		Uniform tiling 63-t012.png Uniform tiling 63-snub.png Uniform tiling 333-t0.pngUniform tiling 333-t1.png Uniform tiling 333-t02.pngUniform tiling 333-t12.png Uniform tiling 63-h12.png
Uniform tiling 333-snub.png
半正对偶
V63 V3.122 V(3.6)2 V63 V36 V3.4.12.4 V.4.6.12 V34.6 V36 V(3.6)2 V36
node_f1 6 node 3 node  node_f1 6 node_f1 3 node  node 6 node_f1 3 node  node 6 node_f1 3 node_f1  node 6 node 3 node_f1  node_f1 6 node 3 node_f1  node_f1 6 node_f1 3 node_f1  node_fh 6 node_fh 3 node_fh  node_fh 6 node 3 node  node_fh 6 node 3 node_f1  node 6 node_fh 3 node_fh 
Uniform tiling 63-t2.png Tiling Dual Semiregular V3-12-12 Triakis Triangular.svg Rhombic star tiling.png Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 63-t0.png Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg Tiling Dual Semiregular V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg Uniform tiling 63-t0.png Rhombic star tiling.png Uniform tiling 63-t0.png
三角形
对称性 		拓展对称性（英语：Coxeter notation） 拓展
符号 		拓展
阶 		堆砌符号
a1 [3[3]] node split1 branch  ×1 (None)
i2 <[3[3]]>
= [6,3] 		node_c1 split1 branch_c2 
= node_c1 3 node_c2 6 node  		×2 node_1 split1 branch  1, node split1 branch_11  2
r6 [3[3[3]]]
= [6,3] 		node_c1 split1 branch_c1 
= node_c1 6 node 3 node  		×6 node_1 split1 branch_11  3, node_h split1 branch_hh  (1)
Wythoff（英语：Wythoff symbol） 3 | 3 3 3 3 | 3 3 | 3 3 3 3 | 3 3 | 3 3 3 3 | 3 3 3 3 | | 3 3 3
考克斯特 node_1 split1 branch  node_1 split1 branch_10l  node split1 branch_10l  node split1 branch_11  node split1 branch_01l  node_1 split1 branch_01l  node_1 split1 branch_11  node_h split1 branch_hh 
图像
顶点图 		Uniform tiling 333-t0.png
(3.3)3 		Uniform tiling 333-t01.png
3.6.3.6 		Uniform tiling 333-t1.png
(3.3)3 		Uniform tiling 333-t12.png
3.6.3.6 		Uniform tiling 333-t2.png
(3.3)3 		Uniform tiling 333-t02.png
3.6.3.6 		Uniform tiling 333-t012.png
6.6.6 		Uniform tiling 333-snub.png
3.3.3.3.3.3


拓扑相同的镶嵌[编辑]

正六边形镶嵌是有着{6,3}拓扑的一种特殊的正的镶嵌，而实际上，这里有12种类型的非正但是面全同（英语：face-transitivity）且顶点全同（英语：vertex-transitivity）的六边形镶嵌，前7种可以被认为是没有边对边正好对上的四边形镶嵌，也可被认为是有两对共线边的六边形镶嵌。这里的“对称性”假定所有的面都是相同的。

  • 平行四边形 p2对称

    平行四边形
    p2对称

  • 平行四边形 pmg对称

    平行四边形
    pmg对称

  • 平行四边形 pgg对称

    平行四边形
    pgg对称

  • 矩形 pgg对称

    矩形
    pgg对称

  • 梯形 pmg对称

    梯形
    pmg对称

  • 矩形 pgg对称

    矩形
    pgg对称

  • 矩形 cmm对称

    矩形
    cmm对称

  • 六边形 p2对称

    六边形
    p2对称

  • 六边形 pgg对称

    六边形
    pgg对称

  • 六边形 pmg对称

    六边形
    pmg对称

  • 展长六边形 cmm对称

    展长六边形
    cmm对称

  • 正六边形 p6m对称

    正六边形
    p6m对称

正六边形镶嵌也可被变形为一种手征性的四填充色三向同性的编织图案。其中部分正六边形被扭曲成了平行四边形。这一图案有着旋转632 (p6) 对称性（英语：List_of_planar_symmetry_groups#Wallpaper_groups）。

四色正六边形镶嵌
正六边形 六边形编织
p6m (*632) p6 (632)
Hexagonal tiling 4-colors.png Weaved hexagonal tiling.png

應用[编辑]

正六邊形鑲嵌是二維空間最密的排列方式。在蜂窩猜想中，正六邊形鑲嵌是使用最少的總周長將該表面劃分成面積相等的區域的最佳方法。[1][2]最佳的三維結構由開爾文勳爵(Lord Kelvin)提出，他認為，開爾文結構(體心立方晶格)是最佳的結構（最佳結構可能出現於肥皂泡）。然而，一个更加不对称的韋爾—費倫結構要比它好一些。

维基共享资源中相关的多媒体资源：正六邊形鑲嵌

參考文獻[编辑]

  1. ^ Weisstein, Eric W. Honeycomb Conjecture. MathWorld. [27 Dec 2010]. （原始内容存档于2020-03-19）. 
  2. ^ Hales, Thomas C. The Honeycomb Conjecture. Discrete and Computational Geometry. 8 Jun 1999, 25: 1–22 (2001). arXiv:math/9906042 可免费查阅. 
  1. Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
  2. Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1.  (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
  3. 埃里克·韦斯坦因. Hexagonal Grid. MathWorld. 
  4. Klitzing, Richard. 2D Euclidean tilings o3o6x - hexat - O3. bendwavy.org. 
  5. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979: 35. ISBN 0-486-23729-X. 
  6. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]
一維正密鋪
二維正鑲嵌
三維正堆砌
四維正堆砌
正鑲嵌圖
半正鑲嵌圖
卡塔蘭鑲嵌圖
不完全正鑲嵌圖
其它鑲嵌圖
二邊形鑲嵌
Uniform tiling 63-t0.png
三角形鑲嵌
正方形鑲嵌
五邊形鑲嵌
六邊形鑲嵌
七邊形鑲嵌
八邊形鑲嵌
無限邊形鑲嵌
星型面的鑲嵌
星型頂點圖的鑲嵌
複合鑲嵌（重疊）
其他
取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=正六邊形鑲嵌&oldid=75151728”