正切半角公式

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正切半角公式,又称万能公式,这一组公式有四个功能:

  1. 将角统一为
  2. 将函数名称统一为
  3. 任意实数都可以表示为的形式,可以用正切函数换元
  4. 在某些积分中,可以将含有三角函数的积分变为有理分式的积分.

因此,这组公式被称为以切表弦公式,简称以切表弦。它们是由二倍角公式变形得到的。

而被称为萬能公式的原因是利用的代換可以解決一些有關三角函数的積分。参见三角换元法

万能公式的证明[编辑]

二倍角公式,有:

再由同角三角函数间的关系,得

几何证明[编辑]

正切半角公式的几何证明

在单位圆内,t = tan(φ/2)。根据 相似關係,,可以得出


显然

双曲函数[编辑]

可以在双曲函数起到类似的作用.由双曲线右支上的一点(cosh θ, sinh θ)给出。从(−1, 0)到y轴给出了如下等式:

可以得到

 
 
 

 

卡尔·维尔斯特拉斯引入这个式子来省去查找原函数的麻烦。

θT而得出下面的双曲反正切和自然对数之间的关系: