正则性公理

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正则公理(也叫做基础公理)是 Zermelo-Fraenkel 集合论公理之一。在一阶逻辑中,这个公理可叙述如下:

\forall A,\exists x: (\exists z: z \in A) \implies (x \in A \land (\lnot \exist y: y \in A \land y \in x))

翻译为较容易理解的说法就是:

所有非空集合 A 中至少有一个这样的元素 x , 它与A 本身的交集为空。即
\forall A,\exists x \in A : A \neq \varnothing \implies x \cap A = \varnothing

从这个公理得出两个结果,其一为“不存在以自身为元素的集合”,其二为“没有无限序列 an 使得对于所有 iai+1ai 的元素”。

通过选择公理可以证明这个命题的逆也成立: 如果没有这种无限序列,则正则公理为真。所以两个陈述是等价的。

正则公理被认为是Zermelo-Fraenkel 集合论中应用最少的公理,因为数学分支中的所有关键性结果都可用集合论中的其他公理论证。另外,不包含正则公理的康托的集合论,实际上假定了以自身为一个元素的集合(真类)的存在。

基本蕴涵[编辑]

不存在以自身为元素的集合[编辑]

反设 A 是一个集合,使得 A 是自身的一个元素,即A \in A。这时,根据配对公理,可以构造出 B = {A},它也是一个集合。由于B中只有一个元素A,根据正则公理,我们得到A \cap \left\{A \right\}=\varnothing 。但是根据我们的假定有A \in AA \in \left\{A \right\},所以A \cap \left\{A \right\}=A。这与正则公理相矛盾!于是这样的A不是集合。

没有无限递减的集合序列存在[编辑]

f 是自然数的函数,对每个 nf(n+1) 都是 f(n) 的一个元素。定义 f 的值域 S = {f(n): n 是自然数},在函数的形式定义上可以被看做是一个集合。应用正则公理于 S,设 f(k) 是 S 的一个元素,它不相交于 S。但是通过 fS 的定义,f(k) 和有 S 有一个公共元素(就是 f(k+1))。这是个矛盾,所以没有这样的 f 存在。

注意这个论证只适用于是集合(不是不可定义的类)的 f继承有限集合 Vω 满足正则公理。所以如果你形成了一个非平凡的超能力的 Vω,则它也将满足正则公理。但是它将包含无限递减的元素序列。例如,假定 n 是非标准自然数,则 (n-1) \in n(n-2) \in (n-1) 等等,对于任何实际的自然数 k(n-k-1) \in (n-k)。所以这是个不终结的递减的元素序列。但是这个序列在这个模型中是不可定义并因此不是集合。所以没有对于正则公理的矛盾是可以证明的。

假定选择公理则没有无限递减的集合序列蕴涵正则公理[编辑]

设非空集合 S 是正则公理的反例;就是说 S 的所有元素都与 S 有非空交集。设 gS选择函数,就是说对于 S 的每个非空子集 sg(s) 是 s 的一个元素的映射。现在递归的定义在非负整数上的函数为如下:

f(0) = g(S)\,\!
f(n+1) = g(f(n) \cap S).\,\!

那么对于每个 nf(n) 是 S 的一个元素,并且因此它与 S 的交集是非空的, 所以 f(n+1) 是良好定义的,并且是 f(n) 的一个元素。所以 f 是无限递减链。这是一个矛盾,所有没有这样 S 存在。

确使有序对 (a,b) 可定义为 {a,{a,b}}[编辑]

这个定义消除了有序对的 Kuratowski 规范定义 (a,b) = {{a},{a,b}} 中的一对花括号。

良基性和超集合[编辑]

在 1917 年,Dmitry Mirimanov(也拼写为 Mirimanoff)介入了良基性概念:

一个集合 x0 是良基的,当且仅当它没有无限递减成员关系序列:
· · ·  \in x_2 \in x_1 \in x_0.

在 ZFC 中通过正则公理而没有无限递减 ∈序列。实际上,正则公理经常叫做基础公理,因为可以证明 ZFC- (没有正则公理的 ZFC)中良基性蕴涵了正规性。

在没有正则公理的 ZFC 变体中,引发了非良基集合的可能性。当在这种系统中工作的时候,不必然良基的集合叫做超集合。明显的,如果 AA,则 A 是非良基超集合。

超集合的理论已经应用于计算机科学(进程代数最终语义)、语言学(情景理论)和哲学(谎言者悖论)中。

周知有三个不同的反基础公理:

  1. AFA (反基础公理) — 提出自 M. Forti 和 F. Honsell;
  2. FAFA (Finsler 的 AFA) — 提出自 P. Finsler;
  3. SAFA (Scott 的 AFA) — 提出自 Dana Scott

其中第一个 AFA 是基于了accessible pointed graph (apg) 并声称两个超集合是相等的,当且仅当它们可被同一个 apg 描绘。在这个框架下,可以证明所谓的蒯因原子,形式上定义为 Q={Q} 存在并且唯一。

值得强调的是超集合理论是经典集合论的扩展而非替代者: 在超集合领域内的良基集合符合经典集合论。可以在新基础正集合论(或更一般的说带有是自身的元素的全集的任何集合论)中找到的非良基种类是非常不同的。

罗素悖论和正则公理的联系[编辑]

罗素悖论实际上构造了一个真类,而根据正则公理,真类被排除在ZF集合论的公理体系之外。也就是说,正则公理并没有真正解决罗素悖论,只是限制了数学所讨论的集合(更恰当的说法是或是搜集)的范围,从而避开了罗素悖论。这是目前数学家们能找的最好的解决办法:通过正则公理排除所有已知的矛盾。

參考文獻[编辑]

  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

外部链接[编辑]