正十六胞體堆砌

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正十六胞體堆砌
Demitesseractic tetra hc.png
類型 正四維堆砌
維度 4
四維 {3,3,4} Schlegel wireframe 16-cell.png
{3,3} Tetrahedron.png
{3}
棱圖 立方體
顶点图 24-cell t0 F4.svg
正二十四胞體
施萊夫利符號 {3,3,4,3}
歐拉示性數 0
考克斯特記號英语Coxeter–Dynkin_diagram CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.png
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
考克斯特群 = [3,3,4,3]
對偶多胞體 正二十四胞體堆砌
特性

在四維空間幾何學中,正十六胞體堆砌是三種四維空間正堆砌體之一,由正十六胞體獨立堆砌而成,每個條稜周圍都環繞著3個正十六胞體,其頂點圖正二十四胞體。正十六胞體堆砌的對偶多胞體是正二十四胞體,換句話說即正二十四胞體的頂點恰位於正十六胞體堆砌每個胞的幾何中心,反之正十六胞體堆砌的頂點也位於正二十四胞體每個胞的幾何中心

由於正十六胞體堆砌是一種完全密鋪完四維空間的一種幾何結構,就像是二維空間的平面三角形網格在四維空間的類比。正十六胞體堆砌的頂點排佈英语vertex arrangement所形成的四維網格又稱為, D4F4網格英语F4 (mathematics)#F4_lattice[1][2]

性質[编辑]

正十六胞體堆砌是一種由正十六胞體完全密鋪於四維空間的幾何結構,每個三角形面周圍都有3個正十六胞體,在施萊夫利符號中以 表示;每條稜周圍都有6個正十六胞體,稜圖立方體;每個頂點都是24個正十六胞體的公共頂點,頂點圖為正二十四胞體。其對稱性為考克斯特群群,在考克斯特表示法英语Coxeter_notation中可記為

頂點座標[编辑]

正十六胞體堆砌是一個正堆砌體,與二維的三角形鑲嵌類似,可視為{4,3,3,4}通過交錯變換的結果,並且與四面體-八面體堆砌英语Tetrahedral-octahedral honeycomb相關。

正十六胞體堆砌可以被放置在整數座標 上,其中i、j,k,l的和必須是偶數

D4網格[编辑]

正十六胞體堆砌的頂點排佈英语vertex arrangement稱為D4網格或F4網格[2]。以這些頂點為幾何中心的三維超球可以構成四維空間中可能的正超球體填充中最緊密的一種排佈[3],其牛頓數英语Kissing number為24。

CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png = CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

另一種網格,D+
4
網格(又稱為D2
4
網格)可以透過兩個半超立方體網格聯集構成,且與超立方體堆砌相關:

CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png = CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png = CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

這種空間填充網格僅能存於偶數維度的空間。其牛頓數英语Kissing number二的三次方等於8[註 1][5]

The D*
4
網格(也稱為D4
4
或C2
4
)可以透過所有四個D4網格的聯集來構成,但其與D4網格相同,同時他也是2個超立方體堆砌放置在對方的對偶位置的聯集,也就是四維空間中立方晶系結構[6]

CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 01ld.png = CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png = CDel nodes 10r.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel nodes 01r.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png

D*
4
網格的牛頓數英语Kissing number為24[7],其沃罗诺伊图為正二十四胞體堆砌(CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png),並包含所有的截半正十六胞體(即正二十四胞體)之沃羅諾伊胞,在考克斯特記號中計為CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png[8]

不同對稱性的結構[编辑]

名稱 考克斯特群 施萊夫利符號 考克斯特記號 頂點圖
對稱性
維面
正十六胞體堆砌 = [3,3,4,3] {3,3,4,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3,4,3], 1152階
24: 正十六胞體
四維堆砌 = [31,1,3,4]英语Template:B4 honeycombs = h{4,3,3,4} CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png = CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[3,3,4], 384階
16+8: 正十六胞體
= [31,1,1,1]英语Template:D4 honeycombs {3,31,1,1}
= h{4,3,31,1}
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png = CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[31,1,1], 192階
8+8+8: 正十六胞體

相關多胞體與堆砌[编辑]

正十六胞體堆砌是四維空間三種正堆砌體之一,其他的四維空間正堆砌體有:

图像 Tesseractic tetracomb.png
超立方體堆砌
Demitesseractic tetra hc.png
正十六胞體堆砌
Icositetrachoronic tetracomb.png
正二十四胞體堆砌
施萊夫利符號 {4,3,3,4} {3,3,4,3} {3,4,3,3}
D5堆砌體
擴展對稱性英语Coxeter notation#Extended_symmetry 擴展符號 擴展群 堆砌體
[31,1,3,31,1] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png
<[31,1,3,31,1]>
↔ [31,1,3,3,4]
CDel nodeab c1-2.pngCDel split2.pngCDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c4.pngCDel split1.pngCDel nodeab c5.png
CDel nodeab c1-2.pngCDel split2.pngCDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c4.pngCDel 3.pngCDel node c5.pngCDel 4.pngCDel node.png
×21 = CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png, CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png, CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png, CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png

[[31,1,3,31,1]] CDel nodeab c1-2.pngCDel split2.pngCDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c3.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1-2.png ×22 CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png, CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png
<2[31,1,3,31,1]>
↔ [4,3,3,3,4]
CDel nodeab c1.pngCDel split2.pngCDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c4.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c4.pngCDel 4.pngCDel node.png
×41 = CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png
[<2[31,1,3,31,1]>]
↔ [[4,3,3,3,4]]
CDel nodeab c1.pngCDel split2.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node.png
×8 = ×2 CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png, CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png

參見[编辑]

註釋[编辑]

  1. ^ 當n<8時為2n-1;n=8時為240;n>8時為2n(n-1)

參考文獻[编辑]

  1. Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
    • pp. 154–156: Partial truncation or alternation, represented by h prefix: h{4,4} = {4,4}; h{4,3,4} = {31,1,4}, h{4,3,3,4} = {3,3,4,3}, ...
  2. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  3. George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs)
  4. Richard Klitzing, 4D, Euclidean tesselations x3o3o4o3o - hext - O104
  1. ^ The Lattice F4. math.rwth-aachen.de. 
  2. ^ 2.0 2.1 The Lattice D4. math.rwth-aachen.de. 
  3. ^ O. R. Musin. The problem of the twenty-five spheres. Russ. Math. Surv. 2003, 58: 794–795. doi:10.1070/RM2003v058n04ABEH000651. 
  4. ^ Conway JH, Sloane NJH. Sphere Packings, Lattices and Groups 3rd. 1998. ISBN 0-387-98585-9. 
  5. ^ Conway(1998)[4], p. 119
  6. ^ Conway and Sloane, Sphere packings, lattices, and groups, 7.4 The dual lattice D3*, p.120
  7. ^ Conway and Sloane, Sphere packings, lattices, and groups, p. 120
  8. ^ Conway and Sloane, Sphere packings, lattices, and groups, p. 466