正弦

正弦

性質
奇偶性	奇
定義域	(-∞,∞)
到達域	[-1,1]
周期	2π
特定值
當x=0	0
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	((2k+½)π,1)
最小值	((2k-½)π,-1)
其他性質
漸近綫	N/A
根	kπ
臨界點	kπ-π/2
拐點	kπ
不動點	0
k是一個整數.

正弦是三角函数的一种。它的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。它是周期函数，其最小正周期为2π。在自变量为(4n+1)π/2〔n为整数〕时，该函数有极大值1；在自变量为(4n+3)π/2时，该函数有极小值-1。正弦函数是奇函数，其图像关于原点对称。

符号史[编辑]

正弦的符号为sin，取自英文sine。该符号最早由瑞士数学家欧拉所使用。

定义[编辑]

直角三角形中[编辑]

在直角三角形中，一个锐角的正弦定义为它的对边与斜边的比值，也就是：

$\sin \theta = \frac {\mathrm{Opposite}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

直角坐标系中[编辑]

设α是平面直角坐标系xOy中的一个象限角， $P\left( {x,y} \right)$ 是角的终边上一点， $r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0$ 是P到原点O的距离，则α的正弦定义为：

$\sin \alpha = \frac{y}{r}$

单位圆定义[编辑]

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 y 坐标等于 sin θ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度 1，所以有了 sin θ = y/1 。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于 1 查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于 2π 或小于 −2π 的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为 2π的周期函数:

$\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)$

对于任何角度 θ 和任何整数 k。

級數定義[编辑]

正弦函数(蓝色)被对中心为原点的全圆的它的 5 次泰勒级数(粉红色)紧密逼近。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$

微分方程定义[编辑]

由于正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦，因此正弦函数满足微分方程

$y''=-y \,$

这就是正弦的微分方程定义。

指数定义[编辑]

$\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \,$

恒等式[编辑]

用其它三角函数来表示正弦[编辑]

函数	sin	cos	tan	csc	sec	cot
$\sin \theta =$	$\sin \theta\$	$\sqrt{1 - \cos^2\theta}$	$\frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}$	$\frac{1}{\csc \theta}$	$\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}$	$\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}}$

两个角的和及差的正弦[编辑]

$\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y$

二倍角公式[编辑]

$\sin (2 \theta) = 2 \sin \theta \cos \theta\,$

三倍角公式[编辑]

$\sin 3\theta = 3 \sin \theta- 4 \sin^3\theta \,$

半角公式[编辑]

$\sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{2}.\,$

和差化积公式[编辑]

$\sin \theta + \sin \phi = 2 \sin\left( \frac{\theta + \phi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \phi}{2} \right)$

$\sin \theta - \sin \phi = 2 \cos\left({\theta + \phi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \phi\over 2}\right) \;$

万能公式[编辑]

$\sin \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}$

含有正弦的积分[编辑]

$\int\sin cx\;dx = -\frac{1}{c}\cos cx\,\!$

$\int\ |sin x|\,dx = -\cos x\,\!$

$\int\sin^n {cx}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} cx\cos cx}{nc} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\,\!$

$\int\sin^2 {cx}\;dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4c} \sin 2cx = \frac{x}{2} - \frac{1}{2c} \sin cx\cos cx \!$

$\int\sqrt{1 - \sin{x}}\,dx = \int\sqrt{\operatorname{cvs}{x}}\,dx = 2 \frac{\cos{\frac{x}{2}} + \sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}} - \sin{\frac{x}{2}}} \sqrt{\operatorname{cvs}{x}} = 2\sqrt{1 + \sin{x}}$

$\int x\sin cx\;dx = \frac{\sin cx}{c^2}-\frac{x\cos cx}{c}\,\!$

$\int x^n\sin cx\;dx = -\frac{x^n}{c}\cos cx+\frac{n}{c}\int x^{n-1}\cos cx\;dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\,\!$

$\int_{\frac{-a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\sin^2 {\frac{n\pi x}{a}}\;dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6)}{24n^2\pi^2} \qquad\mbox{(for }n=2,4,6...\mbox{)}\,\!$

$\int\frac{\sin cx}{x} dx = \sum_{i=0}^\infty (-1)^i\frac{(cx)^{2i+1}}{(2i+1)\cdot (2i+1)!}\,\!$

$\int\frac{\sin cx}{x^n} dx = -\frac{\sin cx}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{c}{n-1}\int\frac{\cos cx}{x^{n-1}} dx\,\!$

$\int\frac{dx}{\sin cx} = \frac{1}{c}\ln \left|\tan\frac{cx}{2}\right|$

$\int\frac{dx}{\sin^n cx} = \frac{\cos cx}{c(1-n) \sin^{n-1} cx}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sin^{n-2}cx} \qquad\mbox{(for }n>1\mbox{)}\,\!$

$\int\frac{dx}{1\pm\sin cx} = \frac{1}{c}\tan\left(\frac{cx}{2}\mp\frac{\pi}{4}\right)$

$\int\frac{x\;dx}{1+\sin cx} = \frac{x}{c}\tan\left(\frac{cx}{2} - \frac{\pi}{4}\right)+\frac{2}{c^2}\ln\left|\cos\left(\frac{cx}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right|$

$\int\frac{x\;dx}{1-\sin cx} = \frac{x}{c}\cot\left(\frac{\pi}{4} - \frac{cx}{2}\right)+\frac{2}{c^2}\ln\left|\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{cx}{2}\right)\right|$