正弦定理

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正弦定理三角学中的一个定理。它指出:对于任意分别为的对边,外接圆半径,则有

證明[编辑]

法一[编辑]

Law of sines proof.png

做一个边长为的三角形,对应角分别是。从角边做垂线,得到一个长度为h的垂线和两个直角三角形。

显然:

故:

同理可證:

法二[编辑]

的外接圆,设半径为

角A为锐角时[编辑]

正弦定理1.PNG

由于所对的弧都为,根据圆周角定理可瞭解到

由于为外接圆直径,

所以

角A为直角时[编辑]

正弦定理2.PNG

因为,可以得到

所以可以证明

角A为钝角时[编辑]

正弦定理3.PNG

线段是圆的直径 根据圆内接四边形对角互补的性质

所以

因为为外接圆的直径。根据正弦定义

变形可得

根据以上的证明方法可以证明得到得到三角形的一条边与其对角的正弦值的比等于外接圆的直径,即

运用[编辑]

三面角正弦定理[编辑]

若三面角的三个面角分别为,它们所对的二面角分别为,则

[1]

多边形的正弦关系[编辑]

Centred-pentagon.PNG

外部链接[编辑]

  1. ^ 三面角的正弦定理及其应用. [2014-03-08]. (原始内容存档于2021-01-08). 

參阅[编辑]