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正规子群

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群论
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在抽象代数中,正规子群不变子群指一类特殊的子群。由正规子群,可以引导出商群的概念。

埃瓦里斯特·伽罗瓦是最早认识到正规子群的重要性的人。

定义[编辑]

G子群N正規子群,如果它在共轭变换下不變;就是說對於每個N中元素n和每個G中的元素g,元素gng−1仍在N中。我們寫為

下列條件等價於子群NG中是正規子群。其中任何一個都可以用作定義:

  1. 對於G中的所有ggNg−1N
  2. 對於G中的所有ggNg−1 = N
  3. NG中的左陪集的集合和右陪集的集合是一致的。
  4. 對於G中的所有ggN = Ng
  5. NG的若干共軛類并集
  6. 存在以NG群同態

注意條件(1)邏輯上弱於條件(2),條件(3)邏輯上弱於條件(4)。為此,條件(1)和條件(3)經常用來證明NG中是正規子群,而條件(2)和(4)用來證明NG中是正規子群的推論。

陪集和正規子群[编辑]

给定一个群G,以及G的一个子群H,G的一个元素a,集合:

称作H关于a的左陪集。a叫做aH的代表元。

类似地,可以定义H关于a的右陪集:

可以证明:对于G中的两个元素a、b,。因此aH和bH只有两种关系:相等,或交集为空,即或者

于是群G可以被分解成:

这个分解称作群G的左陪集分解。类似地有群G的右陪集分解:

进一步地,可以证明由所定义的关系是一个等价关系,集合中的每个等价关系都可确定一个等价类,因此每个是一个等价类。每个中含有的元素个数是相等的。

此外,群G的左陪集分解与群G的右陪集分解间存在同构

因此H的左陪集个数和右陪集个数是相等的,叫做H对G的指数

对于一般的H,集合关于子集的积并不是一个群。对于G中的元素a、b,子集的积,但对于,不一定有。群G的正规子群或不变子群H使得关于子集的积是這個群的子群。这时H的左陪集和右陪集是一样的,统称陪集。陪集组成的群叫做G关于H的商群,记作。商群的目数等于H对G的指数。

例子[编辑]

  • {e}和G自身总是G的正规子群。如果G只有这两个正规子群,就叫做简单群
  • 群G的中心G的正规子群。
  • 群G的交换子群G的正规子群。
  • 一个阿贝尔群(或交换群)的所有子群都是它的正规子群,因为显然有gH = Hg。不是阿贝尔群,但全部子群都是正规子群的群叫做哈密尔顿群(Hamiltonian group),阶数最小的例子是四元数单位对乘法构成的群
  • 任何有限维欧几里得空间中,平移群都是欧几里得群的正规子群。比如说在3维空间中,先旋转,平移,再作原来旋转的逆,结果是原来的平移。先做镜面对称,平移,再作原来镜面对称的逆,还是原来的平移。将平移按长度分类,就得到一个等价类。平移群是各种长度的平移的并集。

性质[编辑]

  • 满同态保持正规子群的性质,逆映射也是一样。
  • 直积保持正规子群的性质。
  • G的正规子群的正规子群不一定是G的正规子群,即是说正规子群没有传递性。但是,G的正规子群的特征子群总是G的正规子群。
  • G的所有2阶的子群都是正规子群。G中每个阶为n的子群都包含一个G的正规子群K,它对G的阶整除n!。特别地,当p是|G|的最小质因数时,G的所有p阶的子群都是正规子群。

参见[编辑]