正规态射

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

範疇論中,正规態射是一類可以自然地分解成單射滿射態射。使所有態射皆為正规態射的範疇稱為正规範疇

定義[编辑]

\mathcal{C} 為一個有有限射影極限與歸納極限範疇。設 f: X \to Y 為態射。設 p_1, p_2: \; X \times_Y X \to X的投影,而 i_1,i_2: \; Y \to Y \sqcup_X Y上積的內射。定義:

  • 上像\mathrm{Coim}(f) := \mathrm{Coker}(p_1,p_2)
  •  \mathrm{Im}(f) := \mathrm{Ker}(i_1, i_2)

根據極限性質,自然態射 X \to \mathrm{Coim}(f)滿射,而 \mathrm{Im}(f) \to Y 則是單射。此外還存在唯一一個態射 u: \;\mathrm{Coim}(f) \to \mathrm{Im}(f) ,使得合成態射

X \longrightarrow\mathrm{Coim}(f) \stackrel{u}{\longrightarrow} \mathrm{Im}(f) \longrightarrow Y

正好是 f

u同構,則稱 f正规態射;正规態射可以寫成滿射與單射的合成。所有態射皆為正规態射的範疇稱為正规範疇

性質[编辑]

  • 以下三個條件等價:
    • f 為嚴格滿射
    • \mathrm{Coim}(f) \to Y 為同構
    • 序列 X \times_Y X \Rightarrow X \rightarrow Y 正合
  • 如果 f 同時是嚴格滿射與嚴格單射,則 f 為同構。
  • X \to \mathrm{Coim}(f) 恆為嚴格滿射。

例子[编辑]

正规態射的重要特性在於它分解為滿射與單射,此分解在阿貝爾範疇中扮演關鍵角色。

對於集合範疇範疇以及一個上的範疇,嚴格性並不成問題。一旦引入額外結構,狀況將大大地複雜化:例如取 \mathcal{C}拓撲向量空間範疇,\mathcal{C} 中存在所有有限的積與上積。\mathcal{C} 中的態射 f: X \to Y 即連續線性映射,其像 \mathrm{Im}(f) 是空間 f(X) 配與 Y 的子空間拓撲,上像 \mathrm{Coim}(f) 則是 f(X) 配與 f: X \to f(X)商拓撲;後者一般較前者為細。

文獻[编辑]

  • Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部連結[编辑]