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歸一條件

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量子力學裏,表達粒子量子態波函數必須滿足歸一條件,也就是說,在空間內,找到粒子的機率必須等於 。這性質稱為歸一性。用數學公式表達,

 ;

其中, 是粒子的位置, 是波函數。

歸一化導引[编辑]

一般而言,波函數 是一個複函數。可是, 是一個實函數,大於或等於 ,稱為機率密度函數。所以,在區域 內,找到粒子的機率

(1)

既然粒子存在於空間,機率是 。所以,積分於整個一維空間:

(2)

假若,從解析薛丁格方程而得到的波函數 ,其機率 是有限的,但不等於 ,則可以將波函數 乘以一個常數,使機率 等於 。或者,假若波函數內,已經有一個任意常數,可以設定這任意常數的值,使機率 等於

實例[编辑]

在一維空間內,束縛於區域 內的一個粒子,其波函數是

其中,波數角頻率 是任意常數。

計算能夠使波函數歸一化的常數值 。將波函數代入:

積分於整個粒子存在的區域:

稍加運算,

歸一化的波函數是:

薛丁格方程的形式不變[编辑]

薛丁格方程為

其中,約化普朗克常數位勢能量

將波函數 歸一化為 。則薛丁格方程成為

薛丁格方程的形式不變。對於歸一化,薛丁格方程是個不變式,因為薛丁格方程是個線性微分方程式

一個表達粒子量子態的波函數,必須滿足粒子的薛丁格方程。既然 都能夠滿足同樣的薛丁格方程,它們必定都表達同樣的量子態。假若不使用歸一化的波函數,則只能知道機率的相對大小;否則,使用歸一化的波函數,可以知道絕對的機率。這對於量子問題的解析,會提供許多便利。

歸一化恆定性[编辑]

給予一個歸一化的波函數.隨著時間的變化,波函數也會改變.假若,隨著時間改變的波函數不再滿足歸一條件,則勢必要重新將波函數歸一化.這樣,歸一常數 變得含時間.很幸運地,滿足薛丁格方程的波函數的歸一性是恆定的.設定波函數 滿足薛丁格方程與歸一條件:

假若,歸一性是恆定的,則機率 不含時間。為了顯示這一點,先計算

展開被積函數

編排薛丁格方程,可以得到波函數 對於時間的偏導數:

共軛波函數 對於時間的偏導數為

代入被積函數

代入 的方程式:

可是,在 都等於 0 .所以,

機率 不含時間。波函數的歸一化是恆定的。

參考文獻[编辑]

  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 12–14. ISBN 0-13-111892-7. 

參閱[编辑]

外部連結[编辑]

Middlebury 大學講義:歸一化