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歸納維數

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在數學的拓撲學中,歸納維數是對拓撲空間X定義的兩種維數,分別為小歸納維數ind(X)與大歸納維數Ind(X)。在n維歐幾里得空間Rn中,一個球的邊界是有n - 1維的球面。以這個觀察為基礎,利用一個空間中適合的開集的邊界維數,應當可以歸納定義出空間的維數。

這兩種維數是只靠空間的拓撲來定義,無需用到空間的其他性質(比如度量)。拓撲空間的一般常用維數有三種,有大小歸納維數,以及勒貝格覆蓋維數。通常說「拓撲維數」是指勒貝格覆蓋維數。對於「足夠好」的空間,這三種維數都相等。

正式定義[编辑]

我們想定義一個點的維數是0,而點的邊界是空的,因此首先定義

然後,歸納定義X的小歸納維數ind(X)為最小的整數n,使得對X中任何點x,及任何包含x開集U,都存在一個包含x的開集V,使得V閉包U的子集,V邊界的小歸納維數小於或等於n - 1。

對於X的大歸納維數Ind(X)的定義,增加選取V的限制如下:Ind(X)為最小的整數n,使得對X中任何開集U,及U的任何子集F,都存在一個包含F的開集V,使得V的閉包是U的子集,V的邊界的大歸納維數n - 1。

各維數的關係[编辑]

設dim為勒貝格覆蓋維數。對任何拓撲空間X,有

dim X = 0 若且唯若 Ind X = 0.

烏雷松定理指出,若X正規空間,及有可數基,則

dim X = Ind X = ind X.

這種空間正是可分可度量化空間。(參見烏雷松度量化定理。)

Nöbeling-Pontryagin定理指出有限維數的這種空間,其特徵為同胚於歐幾里得空間中的子空間,子空間用通常的拓撲。Menger-Nöbeling定理(1932)說若X是緊緻及度量可分,且有維數n,則可以嵌入到2n + 1維歐幾里得空間成為子空間。(Georg Nöbeling英语Georg NöbelingKarl Menger英语Karl Menger的學生。他引入了Nöbeling空間,是R2n + 1的一個子空間,由至少n + 1個座標是無理數的點所組成,這個空間有與n維空間嵌入相關的一些泛性質。)

若只假設X可度量化,則有(Miroslav Katětov英语Miroslav Katětov

ind X ≤ Ind X = dim X.

若只假設X緊緻豪斯多夫空間,則有(P. S. Aleksandrov

dim X ≤ ind X ≤ Ind X.

以上的不等式都可能是嚴格的;Vladimir V. Filippov有個例子顯示兩種歸納維數可以不相等。

一個可分度量空間X的大歸納維數Ind Xn,若且唯若X中任何閉空間A及任何連續映射,都存在一個連續擴張

參看[编辑]

  • Crilly, Tony, 2005, "Paul Urysohn and Karl Menger: papers on dimension theory" in Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 844-55.
  • R. Engelking, Theory of Dimensions. Finite and Infinite, Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2.
  • V. V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.
  • V. V. Filippov, On the inductive dimension of the product of bicompacta, Soviet. Math. Dokl., 13 (1972), N° 1, 250-254.
  • A. R. Pears, Dimension theory of general spaces, Cambridge University Press (1975).