比值审敛法

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无穷级数
无穷级数

比值审敛法(Ratio test)是判别级数敛散性的一种方法,又称为达朗贝尔判别法D'Alembert's test)。

定理[编辑]

比值审敛法判断流程表

为一级数,如果

  • 当ρ<1时级数絕對收敛
  • 当ρ>1时级数发散
  • 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散。

证明[编辑]

如果,那么存在一个实数以及一个正整数,满足,使得当时,总有成立;因此在上述条件下,当为正整数时有,于是根据无穷等比数列求和得出下式绝对收敛:

如果,那么同样存在一个正整数,使得当时,总有,求和项的极限不为零,于是级数发散。

而当时,以为例,结果同样为,但前者发散而后者收敛(后者收敛值为),该例子可以用比较审敛法来审敛。

例子[编辑]

收敛[编辑]

考虑级数

因此该级数收敛。

发散[编辑]

考虑级数

=
=
=
=
=
=

因此该级数发散。

不能确定[编辑]

级数

发散,但

而级数

收敛,但

参见[编辑]