毕奥-萨伐尔定律

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用\mathbf{r}\,\!表示;而其大小則用r\,\!來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「'\,\!」;源變數的標記的後面有單撇號「'\,\!」。

靜磁學裏,必歐-沙伐定律 (Biot-Savart Law)以方程式描述,電流在其周圍所產生的磁場。採用靜磁近似,當電流緩慢地隨時間而改變時(例如當載流導線緩慢地移動時),這定律成立,磁場與電流的大小、方向、距離有關[1]。必歐-沙伐定律是以法國物理學者讓-巴蒂斯特·必歐菲利克斯·沙伐命名。

必歐-沙伐定律表明,假設源位置為 \mathbf{r}' 的微小線元素 \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'電流 I ,則 \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}' 作用於場位置 \mathbf{r}磁場

\mathrm{d}\mathbf{B} =\frac{\mu_0 I }{4\pi} \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}' \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}

其中,\mathrm{d}\mathbf{B} 是微小磁場(這篇文章簡稱磁通量密度為磁場),\mu_0磁常數

已知電流密度 \mathbf{J}(\mathbf{r}') ,則有:

 \mathbf{B}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathbf{J}(\mathbf{r}') \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\ \mathrm{d}^3{r}'

其中, \mathrm{d}^3{r}' 為微小體積元素,\mathbb{V}' 是積分的體積。

空氣動力學中,以渦度對應電流、速度對應磁場強度,便可應用必歐-沙伐定律以計算渦線 (vortex line) 導出的速度。

概念[编辑]

必歐-沙伐定律適用於計算一個穩定電流所產生的磁場。這電流是連續流過一條導線的電荷,電流量不隨時間而改變,電荷不會在任意位置累積或消失。採用國際單位制,用方程式表示,

 \mathbf{B}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0 I }{4\pi}  \int_{\mathbb{L}'} \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}' \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}

其中,I 是源電流,\mathbb{L}' 是積分路徑,\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}' 是源電流的微小線元素。

應用這方程式,必須先選出磁場的場位置。固定這場位置,積分於源電流的路徑,就可以計算出在場位置的磁場。請注意,這定律的應用,隱性地依賴著磁場的疊加原理成立;也就是說,每一個微小線段的電流所產生的磁場,其向量的疊加和給出了總磁場。對於電場和磁場,疊加原理成立,因為它們是一組線性微分方程式的解答。更明確地說,它們是馬克士威方程組的解答。

當電流可以近似為流過無窮細狹導線,上述這方程式是正確的。但假若導線是寬厚的,則可用積分於導線體積或包含導線體積 \mathbb{V}' 的方程式:

 \mathbf{B}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathbf{J}(\mathbf{r}') \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3{r}'

其中,\mathbf{J}電流密度\mathrm{d}^3 r' 是微小體積元素。

必歐-沙伐定律是靜磁學的基本定律,在靜磁學的地位,類同於庫侖定律之於靜電學。必歐-沙伐定律和安培定律的關係,則如庫侖定律之於高斯定律

假若無法採用靜磁近似,例如當電流隨著時間變化太快,或當導線快速地移動時,就不能使用必歐-沙伐定律,必須改用傑斐緬柯方程式

等速運動的點電荷所產生的電場和磁場[编辑]

由於點電荷的運動不能形成電流,所以,必須使用推遲勢的方法來計算其電場和磁場。假設一個點電荷 q 以等速度 \mathbf{v} 移動,在時間 t 的位置為 \mathbf{w}=\mathbf{v}t 。那麼,馬克士威方程組給出此點電荷所產生的電場和磁場:

 \mathbf{E} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{1 - v^2/c^2}{(1 - v^2\sin^2\theta/c^2)^{3/2}}\frac{\mathbf{r} - \mathbf{w}}{|\mathbf{r} - \mathbf{w}|^3}
 \mathbf{B} = \mathbf{v} \times \frac{1}{c^2} \mathbf{E}

其中,\theta\mathbf{v}\mathbf{r} - \mathbf{w} 之間的夾角。

v^2 \ll c^2 時,電場和磁場可以近似為

 \mathbf{E} =\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{\mathbf{r} - \mathbf{w}}{|\mathbf{r} - \mathbf{w}|^3}
 \mathbf{B} =\frac{\mu_0 q \mathbf{v}}{4\pi} \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{w}}{|\mathbf{r} - \mathbf{w}|^3}

這方程式最先由奧利弗·黑維塞於 1888 年推導出來,稱為必歐-沙伐點電荷定律[2]

安培定律和高斯磁定律的導引[编辑]

這裏,我們要從必歐-沙伐定律推導出安培定律高斯磁定律 (Gauss's law for magnetism)[1][2] 。若想查閱此證明,請點選「顯示」。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Jackson, John David. Classical Electrodynamics 3rd ed. New York: Wiley. 1999: Chapter 5. ISBN 0-471-30932-X. 
  2. ^ 2.0 2.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 222–224, 435–440. ISBN 0-13-805326-X. 
  • 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修. 費曼物理學講義 II (2) 介電質、磁與感應定律. 台灣: 天下文化書. 2008: pp. 142–144. ISBN 978-986-216-231-6.