毕达哥拉斯平均

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二個數a及b的平方平均數及三種毕达哥拉斯平均的圖示。調和平均數標示為H,幾何平均數標示為G,算術平均數標示為A,平方平均數標示為Q

毕达哥拉斯平均是三種平均數的總稱,分別是算術平均數(A)、幾何平均數(G)及調和平均數(H)。其定義如下:

  •  A(x_1, \ldots, x_n) = \frac{1}{n}(x_1 + \cdots + x_n)
  •  G(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}
  •  H(x_1, \ldots, x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}

上述的任一個平均數都滿足以下性質:

  •  M(x,x, \ldots,x) = x
  •  M(bx_1, \ldots, bx_n) = b M(x_1, \ldots, x_n)

若所有 x_i 均為正,三個平均數之間有以下的順序關係:

 A(x_1,\ldots,x_n) \geq G(x_1,\ldots,x_n) \geq H(x_1,\ldots,x_n)

其中的等式成立若且唯若所有的 x_i 都相等。上式的不等式即為平均数不等式,也是冪平均不等式中的一個特例。

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