毕达哥拉斯树

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毕达哥拉斯树

毕达哥拉斯树(英語:Pythagoras tree)是一个以正方形为起点建立起的分形平面,1942年由荷兰数学教师阿尔伯特·E·博斯曼提出[1]。由于其建立过程的第一步是在大正方形上方建立两个较小的正方形,三个正方形间是一个等腰直角三角形,故以发现勾股定理的古希腊数学家毕达哥拉斯命名。如果起始的最大正方形的尺寸为L×L,那么整个毕达哥拉斯树会局限在6L×4L的空间中[2][3]。毕达哥拉斯树的平滑曲线是莱维C形曲线

建立[编辑]

Construction of the Pythagoras tree, order 1
Order 2
Order 3
Order 4
起点 第一级 第二级 第三级

毕达哥拉斯树的建立是从一个大正方形开始的,在该正方形的上方建立两个全等的较小正方形,三个正方形间呈现一个等腰直角三角形,故较小正方形的边长为大正方形边长的√2/2。对这两个较小的正方形重复这一过程,得到四个更小的正方形,如此继续下去。若设第一个大正方形的边长为1,在第n级时,会增加2n个小正方形,每个小正方的边长是 (√2/2)n, 故每一步增加的面积均为2n×(½√2)2n=1,从这一点来看,当n趋近于无穷时,毕达哥拉斯树的总面积也趋于无穷。但实际上的情况是,当n大于5时,所增加的小正方形会发生互相重叠,导致毕达哥拉斯树的面积是有限的,它局限在一个6×4 的盒子里,但具体值不易求出[4]

角度变化[编辑]

fourth-order tree, one overlap visible tenth-order tree
第四级 第十级

毕达哥拉斯树的一个变种是改变正方形之间的夹角,比如第一步时让两个较小的正方形和大正方形之间的夹角为60度,三个正方形之间的三角形成为等边三角形,这导致组成树的每一个正方形的边长都相等。这一变种到了第四步开始就会发生重叠,最后形成了全等的正方形组成的一个大六边形。

参考文献[编辑]

  1. ^ Bruno's column - februari 2004 互联网档案馆存檔,存档日期2009-01-18.
  2. ^ Wisfaq.nl. [2012-08-12]. (原始内容存档于2020-03-12). 
  3. ^ Pourahmadazar, J.; Ghobadi, C.; Nourinia, J.;. Novel Modified Pythagorean Tree Fractal Monopole Antennas for UWB Applications. New York: IEEE. 2011. doi:10.1109/LAWP.2011.2154354. 
  4. ^ Pourahmadazar, J.; Ghobadi, C.; Nourinia, J.; (2011). Novel Modified Pythagorean Tree Fractal Monopole Antennas for UWB Applications. New York: IEEE.

外在链接[编辑]