毛球定理

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抚平“毛球”的失败尝试:两极各有一个尖角
抚平“毛甜甜圈”的例子

代数拓扑中,毛球定理证明了偶数维单位上的连续而又处处不为零的切向量是不存在的。具体来说,如果f是定义在一个单位球上的连续函数,并且对球上的每一点P,其函数值是一个与球面在该点相切的向量,那么总存在球上的一点,使得f在该点的值为零。直观上(三维空间)可以想象为一个被“抚平”的“毛球”。这个定理最著名的陈述也正是“永远不可能抚平一个毛球”。这个定理首先在1912年被布劳威尔证明。[1]

实际上,根据庞加莱-霍普夫定理,三维空间中的向量场的零点处的指数和为2,即二维球面的欧拉示性数,因此零点必然存在。对于二维环面,其欧拉特征数为0,因此“长满毛的甜甜圈”是有可能被“抚平”的。推广来说,对于任意的正则的偶数维紧流形,若其欧拉示性数不为0,则其上的连续切向量必然存在零点。

定理的陈述[编辑]

我们考虑常规的欧几里得空间\R^{n+1}里的一个单位球:

S_{n} = \{ (x_0, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^{n+1}, x_0^2 + \cdots + x_n^2 = 1 \}.

其上的拓扑为欧几里得范数诱导的拓扑。这是一个n维的连通的紧子流形。直觉上,对一个单位向量v,它在单位球上的对应点可以用过v并且与其正交的一个\R^{n+1}中的仿射超平面来逼近。S_n上的一个连续的切向量场可以定义为连续映射:X:\;S_n\rightarrow \R^{n+1},使得X(v)v正交。

定理:如果n为大于等于2的偶数,那么所有S_n上的连续的切向量场X必然有至少一个零点。

对于奇数维的情形,存在连续(甚至解析)切向量场,在处处皆不为零。

毛球定理与气旋[编辑]

AtmosphCirc2.png

毛球定理在气象学上的一个有趣应用是对于气旋的研究。如果我们把大气的运动:看为地球表面的一个向量,那么这个向量场连续,因为覆盖地球表面的大气层可以看作是连续分布的。作为理想化的模型,我们可以忽略空气的垂直运动,因为其相对于地球的半径是很小的,或者说我们只研究其水平分量(也是连续的)。

这样看来,一个完全没有风的点(空气静止)对应着向量场的一个零点。事实上,就物理上来说,空气是不可能在某一个区域处处绝对静止的,因为空气总在运动。但毛球定理说明零点存在,因此必然有空气静止的点,并且是孤立点。

一个物理学上的解释是这些零点对应着气旋反气旋的中心(风眼)。在这样的零点附近,风的分布成螺旋形,但永远不会从水平吹入中心或从其中吹出(只能上升或下降)。由毛球定理可以得出,地球表面永远存在气旋和风眼,在风眼处风平浪静,但四周都有风环绕。

参考[编辑]

  1. ^ 证明原文,德文
  • J. W. Milnor. 《Topology from the differentiable viewpoint》. Princeton University. 1997. ISBN 069104833957 请检查|isbn=值 (帮助) (英語). 
  • N. E. Chinn W. G. Steenrod. 《Journal de l'ascension du Mont-Blanc》. 法國: Dunod. 1991. ISBN 2040048480 (法語). 
  • (英文) M. Eisenberg, R. Guy, A Proof of the Hairy Ball Theorem The American Mathematical Monthly Vol. 86, No. 7 (Aug. — Sep., 1979), pp. 571—574

外部链接[编辑]