沃利斯乘积

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數學家約翰·沃利斯在1655年寫下了今日有名的沃利斯乘積

 
\prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}.

證明[编辑]

今日多數的微積分教科書透過比較 \int_0^\pi \sin^nxdxn是奇數或是偶數,甚至是接近無窮大的情況下,發現即使將n增加一就會發生不一樣的情形。在那時,微積分尚未存在,而且有關數學收斂的分析工具也還未俱全,所以完成這證明較現今有相當的難度。從現在來看,從欧拉公式中的正弦展開式得到此乘積是必然的結果。

\frac{\sin(x)}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right),

x = π/2時


\frac{2}{\pi} = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{4n^2}\right)= \left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{2^2 \cdot 4}\right)\left(1 - \frac{1}{2^2 \cdot 9}\right) \cdots
\begin{align}
\frac{\pi}{2} &{}= \prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4n^2}{4n^2 - 1}\right) \\
&{}= \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots
\end{align}

尋找 ζ(2)[编辑]

我們可將上述的正弦乘積式化為泰勒级数

x\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots = x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \cdots