沃利斯乘积

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數學家約翰·沃利斯在1655年寫下了今日有名的沃利斯乘積

當時證明[编辑]

今日多數的微積分教科書透過比較n是奇數或是偶數,甚至是接近無窮大的情況下,發現即使將n增加一就會發生不一樣的情形。在那時,微積分尚未存在,而且有關數學收斂的分析工具也還未俱全,所以完成這證明較現今有相當的難度。從現在來看,從欧拉公式中的正弦展開式得到此乘積是必然的結果。

x = π/2時

嚴謹證明[编辑]

先考慮不定積分

對整數m

另一方面

兩式相除得

又因為


夾擠定理

尋找 ζ(2)[编辑]

我們可將上述的正弦乘積式化為泰勒级数