沃尔斯滕霍尔姆定理

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數論上,Wolstenholme定理說明,對於大於或等於5質數,有

  • {2p-1 \choose p-1} \equiv 1 \pmod{p^3}
  • {ap \choose bp} \equiv {a \choose b} \pmod{p^3}
  • (p-1)!\left(1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+...+{1 \over p-1}\right) \equiv 0 \pmod{p^2}
  • (p-1)!^2\left(1+{1 \over 2^2}+{1 \over 3^2}+...+{1 \over (p-1)^2}\right) \equiv 0 \pmod{p}

以上四個等式是等價的。

只有少數質數符合{2p-1 \choose p-1} \equiv 1 \, \bmod \, p^4,現時已知有兩個這樣的質數,16843 及 2124679 (OEIS:A088164)。這類質數稱為Wolstenholme質數,下一個這樣的質數如果存在,它大於109

這定理是19世紀英國數學家Joseph Wolstenholme提出的。值得一提的是Wolstenholme是吳爾芙的父親的朋友,也是吳爾芙小說《燈塔行》中Augustus Carmichael的原形。