泊松代数

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数学中,泊松代数Poisson algebra)是具有一个满足莱布尼兹法则李括号结合代数;即括号也是导子。泊松代数自然出现于哈密顿力学,也是量子群研究的中心。携有一个泊松代数的流形也叫做泊松流形辛流形泊松-李群是其特列。此代数的名字以西莫恩·德尼·泊松命名。

定义[编辑]

一个泊松代数是 K 上一个向量空间装备着两个双线性乘积,\cdot 与 { , },满足如下性质:

  • 泊松括号是结合乘积 \cdot导子,即对此代数中任何三个元素 xyz,都有 {x, y\cdotz} = {x, y}\cdotz + y\cdot{x, z}。

最后一个性质通常保证了这个代数有其他给出表述,可见下面例子中所指出。

例子[编辑]

泊松代数出现于多种不同场合。

辛流形[编辑]

辛流形上实值光滑函数组成一个泊松代数。辛流形上每个实值函数 H 在此流形上产生一个向量场 X_H,即哈密顿向量场。然后给定此辛流形上任何光滑函数 FG,它们的泊松括号 {,} 定义为

\{F,G\}=dG(X_F)\,.

这个定义是一致的是因为此泊松括号是一个导子。等价地,可以将 {,} 定义为

X_{\{F,G\}}=[X_F,X_G]\,

这里 [,] 是李导数。当辛流形是带着标准辛结构的 \mathbb R^{2n},则泊松括号取如下熟知的形式

\{F,G\}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial G}{\partial p_i}-\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial G}{\partial q_i}.

可对泊松流形进行类似的考虑,它允许辛双向量在流形的某些位置消没。

结合代数[编辑]

如果 A 是一个结合代数,则交换子 [x,y]≡xyyx 使它成为一个泊松代数。

顶点算子代数[编辑]

对一个顶点算子代数 (V,Y, \omega, 1),空间 V/C_2(V) 是一个泊松代数,其中 \{a,b\}=a_0ba \cdot b =a_{-1}b。对某些定点算子代数,这个泊松代数是有限维的。

相关条目[编辑]

参考文献[编辑]