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泊松方程

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泊松方程(法语:Équation de Poisson)是數學中一個常見於靜電學機械工程理論物理偏微分方程式,因法國數學家幾何學家物理學家泊松而得名的。[1]

方程的叙述[编辑]

泊松方程式為

在這裡代表的是拉普拉斯算子,而可以是在流形上的實數複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間,而拉普拉斯算子通常表示為,因此泊松方程通常寫成

在三維直角坐標系,可以寫成

如果有恒等于0,這個方程式就會變成一个齐次方程,这个方程称作“拉普拉斯方程”。

泊松方程可以用格林函數來求解;如何利用格林函數來解泊松方程可以參考screened Poisson equation。現在有很多種數值解。像是松弛法英语relaxation method,不斷回圈的代數法,就是一個例子。

数学表达[编辑]

通常泊松方程式表示为

这里代表拉普拉斯算子为已知函数,而为未知函数。当 时,这个方程被称为拉普拉斯方程

为了解泊松方程我们需要更多的信息,比如狄利克雷边界条件:

其中 为有界开集

这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解,拉普拉斯方程的基础函数为:

其中为n维欧几里得空间中单位球面的体积,此时可通过卷积得到 的解。

为了使方程满足上述边界条件,我们使用格林函数

为一个校正函数,它满足

通常情况下是依赖于

通过 可以给出上述边界条件的解

其中 表示上的曲面测度。

此方程的解也可通过变分法得到。

靜電學[编辑]

靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題,因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電場的問題。在國際單位制SI)中:

代表電勢(單位為伏特),電荷體密度(單位為庫侖/立方公尺),而真空電容率(單位為法拉/公尺)。

如果空間中有某區域沒有帶電粒子,則

此方程式就變成拉普拉斯方程

高斯電荷分佈的電場[编辑]

如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度

此處,Q代表總電荷

此泊松方程式: 的解Φ(r)則為

erf(x)代表的是误差函数.

注意:如果r遠大於σ,erf(x)趨近於1,而電場Φ(r)趨近點電荷電場 ;正如我們所預期的。

參閱[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E. (编), Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer: 503, 2005, ISBN 9780922152766 .
  • Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

外部链接[编辑]