泊松求和公式

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泊松求和公式英文Poisson Summation Formula)由法國數學家泊松所發現,它陳述了一個連續時間的信號,做無限多次的週期複製後,其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係,亦可用來求周期信號的傅立葉轉換。

公式的形式[编辑]

是一個連續時間的信號,做無限次的週期複製之後,產生,可由此推導出泊松求和公式。

泊松求和公式陳述。其中

推導泊松求和公式所需的先備公式[编辑]

考慮狄拉克δ函數,製作一個由無限多根,且間隔為的週期函數

其傅立葉轉換為①

證明①轉換對[编辑]

= =

證明②轉換對[编辑]

為週期函數的傅立葉級數。

可表示為

傅立葉級數得:

因此,

得到等式:

經由適當的變量代換,代換,代換,得(因為n從負無限大到正無限大)

推導泊松求和公式[编辑]

從對頻域做取樣尋找關係式[编辑]

時,得

表示一個信號的在時域以為間隔做取樣,在頻域以為間隔做取樣,則兩者的所有取樣點的總和會有倍的關係。


從對時域做取樣尋找關係式[编辑]

時,得

表示一個信號的在時域以為間隔做取樣,在頻域以為間隔做取樣,則兩者的所有取樣點的總和會有倍的關係。


綜合上述,若時域取樣間隔時,同樣地,頻域取樣間隔時,得泊松求和公式

週期信號的傅立葉轉換[编辑]

考慮一個週期為的週期信號傅立葉轉換,取出g(t)在區間的一個完整週期,亦即傅立葉轉換,其中矩形函數傅立葉級數

得出一週期信號的傅立葉轉換與其傅立葉級數之間的關係。