法图引理

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测度论中,法图引理说明了一个函数列的下极限积分(在勒贝格意义上)和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家皮埃尔·法图(Pierre Fatou),被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理勒贝格控制收敛定理

叙述[编辑]

为一个测度空间是一个实值的可测正值函数列。那么:

其中的函数极限是在逐点收敛的意义上的极限,函数的取值和积分可以是无穷大。

证明[编辑]

定理的证明基于单调收敛定理(非常容易证明)。设为函数列下极限。对每个正整数 k ,逐点定义下极限函数:

于是函数列g1, g2, . . .单调递增并趋于

任意k ≤ n,我们有gk ≤ fn,因此

于是

据此,由单调收敛定理以及下极限的定义,就有:

反向法图引理[编辑]

测度空间(S,Σ,μ)中的一列可测函数,函数的值域为扩展实数(包括无穷大)。如果存在一个在 S 上可积的正值函数 g ,使得对所有的 n 都有,那么

这里只需弱可积,即

证明:对函数列应用法图引理即可。

推广[编辑]

推广到任意实值函数[编辑]

法图引理不仅对取正值的函数列成立,在一定限制条件下,可以扩展到任意的实值函数。令测度空间(S,Σ,μ)中的一列可测函数,函数的值域为扩展实数(包括无穷大)。如果存在一个在 S 上可积的正值函数 g ,使得对所有的 n 都有,那么

证明:对函数列应用法图引理即可。

逐点收敛[编辑]

在以上的条件下,如果函数列在Sμ-几乎处处逐点收敛到一个函数,那么

证明:是函数列的极限,因此自然是下极限。此外,零测集上的差异对于积分值没有影响。

依测度收敛[编辑]

如果函数列在S依测度收敛,那么上面的命题仍然成立。

证明:存在的一个子列使得

这个子列仍然依测度收敛到,于是又存在这个子列的一个子列在Sμ-几乎处处逐点收敛,于是命题成立。

外部链接[编辑]

参考来源[编辑]

  • H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.