泛包絡代數

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數學中,我們可以構造任意李代數 泛包絡代數 。李代數一般並非結合代數,但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的表示理論可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上,泛包絡代數可以解釋為李群上的左不變微分算子。

泛性質[编辑]

以下固定 。首先注意到:對任意帶乘法單位元的 -結合代數 ,定義括積 ,可視 為李代數。

泛包絡代數係指帶單位元的結合代數 及一個指定的李代數同態 。這對資料由下述泛性質刻劃:

對任意帶乘法單位元的 -結合代數 , 若存在李代數同態

則存在唯一的代數同態

使之滿足

換言之,函子 滿足下述關係:

藉此,可視 (單位結合代數)(李代數)的左伴隨函子

構造方式[编辑]

首先考慮張量代數 ,此時有自然的包含映射 。取 為下列元素生成的雙邊理想

定義

所求的映射 與商映射的合成。容易驗證 保存李括積。

根據上述構造,可直接驗證所求的泛性質。

基本性質[编辑]

  • 可交換,則 亦然;此時 同構於多項式代數。
  • 來自李群 ,則 可理解為 上的左不變微分算子。
  • 的中心 顯然包含 ,但不僅如此,通常還包括更高階的元素,例如喀希米爾元素;這種元素給出李群上的拉普拉斯算子

庞加莱-伯克霍夫-维特定理[编辑]

庞加莱-伯克霍夫-维特定理是泛包絡代數的根本定理之一。取定有限維李代數 的基 ,此定理斷言

的基。此定理的直接推論是: 為單射。

表示理論[编辑]

在泛性質中取 ,其中 為任意向量空間,遂可等同 的表示與 的表示,後者不外是 -。藉此觀點,李代數表示理論可視為模論的一支。

群代數之於群表示一如泛包絡代數之於李代數的表示。兩者都具有霍普夫代數結構。

文獻[编辑]

  • Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6