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波矢

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用表示;而其大小則用來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如,。為了避免歧意,四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如,表示平方;而的第二個分量。

波向量向量表示方法。波向量是一个向量,其大小表示波数),其方向表示波传播的方向。

波向量在狭义相对论背景下可定义为四维矢量

定义[编辑]

正弦波波长λ可以通过测量相位相同的任意相邻两点间的距离得到,这两点可以是相邻的波峰、波谷或是如图所示的零交点英语Zero crossing
当波行进时,给定点的值以正弦作正弦振动。

波矢有两种常见的定义,区别在於振幅因子是否乘以,两种定义分别用於物理学晶体学以及它们的相关领域。[1]

物理学定义[编辑]

理想的一维行波遵循如下方程:

其中:

  • x为位置;
  • t为时间;
  • xt的函数)是对波进行描述的扰动(例如对於海浪是超出水面的高度;对於声波是超气压);
  • A是波的振幅(振动的峰值);
  • 是相位偏移,描述了两个波互相之间不同步的程度;
  • 是波的角频率,描述了在一个给定点波振动的快慢程度;
  • 波数,与波长成反比,由求出。

此波在+x方向上行进,相速度

推广到三维情况下,方程为:

其中:

  • r是三维空间中的位置矢量;
  • 矢量点积
  • k是波矢。

这一方程描述了平面波。一维情况下,波矢的大小是角波数。波矢的方向是平面波行进的方向。

晶体学定义[编辑]

晶体学中,描述相同的波的方程略有不同。[2]在一维和三维情况下的方程分别为:

不同点在於:

  • 晶体学定义使用了频率,而不是角频率,由公式,二者可以相互转换。这种置换主要反映了在晶体学中的常见应用。
  • 波数k以及波矢k的定义方式不同。此处的,而在物理学定义中,

狭义相对论[编辑]

接近单色光的波包可以由波矢

准确描述,若明确的改写成共變和反變形式,则

於是波矢的大小为

最後一步等於零是因为对於真空中的光满足

洛伦兹变换[编辑]

对波矢作洛伦兹变换可导出相對論性多普勒效應。洛伦兹矩阵定义为

在光被快速移动的波源激发的情况下,若要在地球坐标系(实验室坐标系)中检定光的频率,就要使用洛伦兹变换,如下所示。注意波源位於坐标系S s,地球位於观测系S obs。 对波矢进行洛伦兹变换得到

只考虑分量的情况,得到

其中关於的方向余弦

因此

波源远离观测者[编辑]

当波源径直地远离观测者时,,方程变为:

波源接近观测者[编辑]

当波源径直地接近观测者时,,方程变为:

参考文献[编辑]

  • Brau, Charles A. Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-514665-4.