本页使用了标题或全文手工转换

泰勒级数

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索
无穷级数
无穷级数

在数学中,泰勒级数英语:Taylor series)用无限项连加式——级数来表示一个函数,这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式英國数学家布魯克·泰勒Sir Brook Taylor)来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数,以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。

拉格朗日在1797年之前,最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。实际应用中,泰勒级数需要截断,只取有限项,可以用泰勒定理估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的极限(如果存在极限)。即使泰勒级数在每点都收敛,函数与其泰勒级数也可能不相等。在开区间(或复平面上的开区间)上,与自身泰勒级数相等的函数称为解析函数

定义[编辑]

在数学上,对于一个在实数复数邻域上,以实数作为变量的函数以复数作为变量的,并且是无穷可微的函数,它的泰勒级数是以下这种形式的幂级数

这裡,表示阶乘,而表示函数在点处的导数。如果,也可以把这个级数称为麦克劳林级数

解析函數[编辑]

柯西在1823年指出函數无法被解析。

如果泰勒级数对于区间中的所有都收敛并且级数的和等于,那么我们就称函数解析形的函数(analytic)。一个函数当且仅当(简单地说,“只有在”)能够被表示为幂级数的形式时,才是解析形的函数。通常会用泰勒定理来估计级数的餘项,这样就能够确定级数是否收敛于。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。

以下三个事实可以说明为什么泰勒级数是十分重要的:

  1. 可以逐项对幂级数的计算微分和积分,因此求和函数相对比较容易。
  2. 数学家因此能够在复数平面上研究函数,因为一个解析函数,也可以被定义为在复平面中一个开放的区间内的解析函数(在区间内每一个点上都能被微分的函数)。
  3. 可用泰勒级数估计,在某一点上函数会计算出什么值。

对于一些无穷的可以被微分函数,虽然它们的展开式会收敛,但是并不等于。例如,分段函数,如果并且,则时所有的导数都为零,所以这个的泰勒级数为零,且其收敛半径为无穷大,不过函数仅在处为零。但是,在以复数作为变量的函数中这个问题并不存在,因为当沿虚轴趋于零,并不趋于零。

如果一个函数在某处引发一个奇点,它就无法被展开为泰勒级数,不过如果变量是负指数幂的话,我们仍然可以将其展开为一个级数。例如,虽然在的时候,会引发奇点,但仍然能够把这个函数展开为一个洛朗级数

最近,专家们发现了一个用泰勒级数来求解微分方程的方法——Parker-Sochacki method英语Parker-Sochacki method[1]。用皮卡反覆運算便可以推导出这个方法。

常用的函数的麦克劳林序列[编辑]

复平面上餘弦函數的實數部分。
复平面上餘弦函數的第八度逼近
兩個以上的曲線放在一起

下面我们给出了几个重要的泰勒级数。当变量是复数时,这些等式依然成立。

几何级数[编辑]

几何级数

二项式定理[编辑]

二项式定理

二项式展开中的二项式系数

指数函数和自然对数[编辑]

为底数的指数函数的麦克劳林序列是

(对所有X都成立)

为底数的自然对数的麦克劳林序列是

(对于在区间(-1,1]内所有的X都成立)

三角函数[编辑]

常用的三角函数可以被展开为以下的麦克劳林序列:

展开式中的Bk伯努利数。在展开式中的Ek欧拉数

双曲函数[编辑]

双曲函数

展开式中的Bk伯努利数

朗伯W函数[编辑]

朗伯W函数

多元函数的展开[编辑]

泰勒级数可以推广到有多个变量函数

历史[编辑]

希腊哲学家芝诺在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题,得出不可能的结论 - 芝诺悖论。后来,亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳,但德谟克利特以及后来的阿基米德进行研究,此部分数学内容才得到解决。 正是用了阿基米德的穷举法才使得一个无穷级数被逐步的细分,得到了有限的结果。[2].几个世纪之后,中国数学家刘徽也独立提出了类似的方法。[3]

进入14世纪,马德哈瓦英语Madhava of Sangamagrama最早使用了泰勒级数以及相关的方法[4]。尽管他的数学著作没有流传下来,但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数,这些级数包括正弦余弦正切、和反正切三角函数等等。之后,喀拉拉学派英语Kerala school of astronomy and mathematics在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近,这些工作一直持续到16世纪。

到了17世纪,詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。但是直到1715年,布鲁克·泰勒 [5] 提出了一个通用的方法来构建适用于所有函数的此类列级数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。 麦克劳林级数是泰勒级数的特例,是爱丁堡大学科林·麦克劳林教授在18世纪发表的,并以其名字命名。

與牛頓插值公式的淵源[编辑]

自然哲學的數學原理》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N,對應著6個值A,B,C,D,E,F,生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值,計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式也叫做牛頓級數,由“牛頓前向差分方程”的項組成,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五[6],此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續“泰勒展開”的離散對應。

差分[编辑]

對於x值間隔為非一致步長,牛頓計算均差,對x值間隔為單位步長1或一致但非單位量的情況,計算差分,前向差分的定義為:

插值公式[编辑]

牛頓插值公式為:

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式

二項式係數,其中的(x)k是“下降階乘冪”,空乘積(x)0被定義為1。

無窮級數[编辑]

牛頓在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了無窮級數,在1666年得出了的無窮級數,在1669年的《分析學》中發表了的無窮級數;萊布尼茨在1673年大概也得出了的無窮級數。布魯克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》中研討了有限差分方法,其中論述了他在1712年得出的泰勒定理,這個成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和萊布尼茨在1673年已經得出,而約翰·伯努利在1694年已經在《教師學報》發表。

他對牛頓的均差分的步長取趨於極限,得出:

参考文献[编辑]

  1. ^ James S. Sochacki. The Modified Picard Method for Solving Arbitrary Ordinary and Initial Value Partial Differential Equations. James Madison University. [2008-05-02] (英语). [失效連結]
  2. ^ Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. pp. 35-37
  3. ^ 吴文俊 《中国数学史大系》第三卷 367页
  4. ^ Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala. MAT 314. Canisius College. [2006-07-09]. (原始内容存档于2006-08-06). 
  5. ^ Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200-1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329-332.
  6. ^ Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1

參見[编辑]