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洛必达法则

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羅必達法則(l'Hôpital's rule)是利用導數來計算具有不定型極限的方法。這法則是由瑞士數學家約翰·伯努利(Johann Bernoulli)所發現的,因此也被叫作伯努利法則(Bernoulli's rule)。

叙述[编辑]

洛必达法则可以求出特定函數趨近於某數的極限值。令擴展實數),兩函數在以為端點的開區間可微,,並且

如果 其中一者成立,則稱欲求的極限未定式

此時洛必达法则表明:

對於不符合上述分數形式的未定式,可以透過運算轉為分數形式,再以本法則求其值。以下列出數例:

欲求的極限 條件 轉換為分數形式的方法

證明[编辑]

下面仅给出 的证明。

设兩函數在a 點附近连续可导,都在 a 點連續,且其值皆為 0 ,

为了叙述方便,假设两函数在 a 点附近都不为0。另一方面,两函数的导数比值在 a 点存在,记为

由连续性的定义,对任何一个,都存在,使得对任意的,都有:

而根据柯西中值定理,对任意的,都存在一个介于之间的数,使得:

于是,

因此,

极限

例子[编辑]

参阅[编辑]

注释与参考[编辑]

注释[编辑]

参考文献[编辑]