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洛必达法则

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羅必達法則(l'Hôpital's rule)是利用導數來計算具有不定型極限的方法。這法則是由瑞士數學家約翰·伯努利(Johann Bernoulli)所發現的,因此也被叫作伯努利法則(Bernoulli's rule)。

叙述[编辑]

洛必达法则适用于各种不定式极限,以下首先叙述型不定式极限相关的洛比达法则。型不定式是指这样一种函数的极限:这个函数可以写成两个函数f(x)与F(x)的比值,而这两个函数同时趋向于0。洛比达法则可以将这种不定式极限转化为另一个极限。

第一种形式[编辑]

如果

  1. 时,函数f(x)与F(x)都趋于零;
  2. 在点a的某去心邻域内,都存在,且
  3. 存在(或為無窮大),

那么

第二种形式[编辑]

如果

  1. 时,函数f(x)与F(x)都趋于零;
  2. 时,都存在,且
  3. 存在(或为无穷大),

那么

这两个形式的差别仅仅在于自变量趋向极限的方式。总的来说,型不定式极限的洛比达法则告诉我们,这个极限,等于将分子函数和分母函数各自求导之后,其比值的极限。 对于其他的一些不定式极限,可以将其转化为型不定式极限,然后应用洛比达法则。比如型不定式极限,可以转化如下:

型不定式极限,可以转化如下:

型不定式极限,可以转化如下:

型不定式极限,可以转化如下:

證明[编辑]

下面仅给出第一种形式的证明。第二种形式的证明与之类似。

设兩函數在a 點附近连续可导,都在 a 點連續,且其值皆為 0 ,

为了叙述方便,假设两函数在 a 点附近都不为0。另一方面,两函数的导数比值在 a 点存在,记为

由连续性的定义,对任何一个,都存在,使得对任意的,都有:

而根据柯西中值定理,对任意的,都存在一个介于之间的数,使得:

于是,

因此,

极限

例子[编辑]

参阅[编辑]

注释与参考[编辑]

注释[编辑]

参考文献[编辑]