海森堡模型

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海森堡模型英语:Heisenberg model)是一個自旋系統的統計力學的模型,常被用來研究磁性系統和強關聯電子系統中的相變臨界點的現象。在量子力學發展初期,海森堡首先提出自旋與自旋之間可能存在交互作用,其數學形式是兩個自旋角動量的內積。海森堡模型的哈密頓算符是這些內積的總和。

其中自旋角動量的三個分量之間的互易關係為 普朗克常數除以 ,為了方便以下討論假設 。如果只考慮最近鄰的自旋才存在交互作用,且交互作用的強度都均等,則哈密頓算符簡化為

可定義上昇算符 和下降算符

哈密頓算符可寫成

相較於易辛模型,海森堡模型除了考慮自旋 軸方向上的耦合以外,還考慮了 軸方向上的耦合,由於 ,這使研究海森堡模型必須考慮量子力學。

一維海森堡模型[编辑]

考慮 自旋排成一列,耦合強度 ,一維海森堡模型的哈密頓算符就寫成

如果是自旋-1/2的一維海森堡模型,在熱力學極限下(),基態能量可利用貝特擬設英语Bethe ansatz方法求得

Haldane猜想[编辑]

自旋半奇整數(、…)和整數(、…)的一維海森堡模型有不同的性質。

奇數(symmetry protected topological)和偶數(trivial)。

二維海森堡模型[编辑]

Kagome晶格中的自旋液體


各向異性[编辑]

在磁性材料中,磁矩(或自旋)之間的交互作用除了用各向同性的(isotropic)海森堡模型描述以外,還可能出現一些各向異性(anisotropy)。當材料中有較強的自旋-軌道耦合時,常造成自旋 軸上的耦合強度不同,此時哈密頓算符改寫為

被廣泛研究的海森堡模型類型的模型是XXZ模型,也就是 的情形,一維自旋-1/2XXZ模型可利用貝特擬設英语Bethe ansatz嚴格求解。


當磁矩(或自旋)大於1/2,還可能出現另一種形式的各向異性,由晶格場造成的單軸各向異性,其數學形式為 。因此在磁性材料中常被用來討論的理論模型寫成XXZ模型加上單軸各向異性,

其中參數 分別代表XXZ各向異性和單軸各向異性,當 ,模型回歸到各向同性的海森堡模型

相關條目[编辑]