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海森堡繪景

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维尔纳·海森堡

海森堡繪景(Heisenberg picture)是量子力學的一種表述,因物理學者维尔纳·海森堡而命名。在海森堡繪景裏,對應於可觀察量算符會隨著時間流易而演化,而描述量子系統的態向量則與時間無關。使用海森堡繪景,可以很容易地觀察到量子系統與經典系統之間的動力學關係。海森堡繪景適用於量子場論。海森堡繪景表述的是薛丁格波動力學,不是海森堡矩陣力學[1]:第2章第25頁

海森堡繪景與薛丁格繪景狄拉克繪景不同。在薛丁格繪景裏,描述量子系統的態向量隨著時間流易而演化,而像位置動量一類的對應於可觀察量的算符則不會隨著時間流易而演化。[註 1]在狄拉克繪景裏,態向量與對應於可觀察量的算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸,所獲得的結果完全一致。這是必然的,因為它們都是在表達同樣的物理現象。[2]:80-84[3][4]

概述[编辑]

為了便利分析,位於下標的符號{}_\mathcal{H} {}_\mathcal{S}分別標記海森堡繪景、薛丁格繪景。

在量子力學的海森堡繪景裏,態向量|\psi \rang_{\mathcal{H}} 不含時,而可觀察量的算符A_{\mathcal{H}}則含時,並且滿足「海森堡運動方程式」:[2]:80-84

\frac{d}{dt}A_{\mathcal{H}}={1 \over i\hbar}[A_{\mathcal{H}},\, H]

其中,\hbar約化普朗克常數H哈密頓量[ A_{\mathcal{H}},\, H]A_{\mathcal{H}}H對易算符

從某種角度來看,海森堡繪景比薛丁格繪景顯得更為自然,更具有基礎性,因為,經典力學分析物體運動所使用的物理量是可觀察量,例如,位置、動量等等,而海森堡繪景專注的就是這些可觀察量隨著時間流易的演化。進一步來看,海森堡繪景表述的量子力學與經典力學的相似可以很容易的觀察到:只要將對易算符改為帕松括號,海森堡方程式立刻就變成了哈密頓力學裏的運動方程式,其形式表示為[5]:396-397

\frac{d}{dt}A=[A,\, H]_{Poisson}

其中, [\ ,\,\ ]_{Poisson}帕松括號

通過狄拉克量子化條件英语canonical quantization,可以從哈密頓力學的運動方程式得到海森堡運動方程式:

[\ ,\,\ ]_{Poisson}\ \to\ \frac{[\ ,\, \ ]}{i\hbar}

史東-馮諾伊曼理論英语Stone-von Neumann theorem證明海森堡繪景與薛丁格繪景是等價的。

理論導引[编辑]

在薛丁格繪景裏,負責時間演化的算符是一種么正算符,稱為時間演化算符。假設時間從0流易到t,而經過這段時間間隔,態向量|\psi(0)\rang_{\mathcal{S}}演化為|\psi(t)\rang_{\mathcal{S}},這時間演化過程以方程式表示為

|\psi(t)\rang_{\mathcal{S}} = U(t,0) |\psi(0)\rang_{\mathcal{S}}

其中,U(t,0)是時間從0流易到t的時間演化算符。

時間演化算符是么正算符

U(t,0)U^{\dagger}(t,0)=U^{\dagger}(t,0)U(t,0)=1

假設系統的哈密頓量H不含時,則時間演化算符為[2]:69-71[註 2]

 U(t, 0) = e^{-iHt/\hbar}

而且,時間演化算符與哈密頓量相互對易:[註 3]

HU(t,0)=U(t,0)H

注意到指數函數e^{-iHt/\hbar}必須通過其泰勒級數計算。

在海森堡繪景裏,態向量|\psi(t)\rang_{\mathcal{H}}、算符A_{\mathcal{H}}(t)分別定義為

|\psi(t)\rang_{\mathcal{H}}\stackrel{def}{=}|\psi(0)\rang_{\mathcal{H}}=|\psi(0)\rang_{\mathcal{S}}
A_{\mathcal{H}}(t)\stackrel{def}{=}U^{\dagger}(t,0)A_{\mathcal{S}}U(t,0)

由於U(t,0)U^{\dagger}(t,0)對於時間的偏導數分別為

\frac{\partial U(t,0)}{\partial t}={1 \over i\hbar }HU(t,0)
\frac{\partial U^{\dagger}(t,0)}{\partial t}=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger}(t,0)H

所以,算符A_{\mathcal{H}}(t)對於時間的導數是[註 4]

\begin{align} {d \over dt} A_{\mathcal{H}}(t)  & =\frac{\partial U^{\dagger}(t,0)}{\partial t}A_{\mathcal{S}}U(t,0)+U^{\dagger}(t,0)A_{\mathcal{S}}\frac{\partial U(t,0)}{\partial t} \\ 
 & = -{1 \over i\hbar } U^{\dagger}H A_{\mathcal{S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger}A_{\mathcal{S}}HU  \\
 & = -{1 \over i\hbar } U^{\dagger}HUU^{\dagger}A_{\mathcal{S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger}A_{\mathcal{S}}UU^{\dagger}HU  \\
 & ={1 \over i\hbar }[U^{\dagger}A_{\mathcal{S}}U,U^{\dagger}HU]  \\
\end{align}

由於不含時哈密頓量在海森堡繪景的形式與在薛丁格繪景相同,可以忽略下標:[註 5]

H_{\mathcal{H}}=U^{\dagger}H_{\mathcal{S}}U=H_{\mathcal{S}}=H

將算符的定義式納入考量,就可以得到海森堡運動方程式:

{d \over dt} A_{\mathcal{H}}(t)={1 \over i\hbar }[A_{\mathcal{H}}(t),H]

期望值[编辑]

在薛丁格繪景哩,可觀察量A期望值[2]:81

\lang A \rang_{\mathcal{S}}={}_{\mathcal{S}}\lang\psi(t)| A_{\mathcal{S}}|\psi(t)\rang_{\mathcal{S}}={}_{\mathcal{S}}\lang\psi(0)|U^{\dagger}(t,0)A_{\mathcal{S}}U(t,0) |\psi(0)\rang_{\mathcal{S}}

在海森堡繪景裏,可觀察量A的期望值為

\lang A \rang_{\mathcal{H}}={}_{\mathcal{H}}\lang\psi(t)| A_{\mathcal{H}}(t)|\psi(t)\rang_{\mathcal{H}}={}_{\mathcal{H}}\lang\psi(0)|A_{\mathcal{H}}(t)|\psi(0)\rang_{\mathcal{H}}

注意到態向量|\psi(t)\rang_{\mathcal{H}}、算符A_{\mathcal{H}}(t)的定義式:

|\psi(t)\rang_{\mathcal{H}}\stackrel{def}{=}|\psi(0)\rang_{\mathcal{H}}=|\psi(0)\rang_{\mathcal{S}}
A_{\mathcal{H}}(t)\stackrel{def}{=}U^{\dagger}(t,0)A_{\mathcal{S}}U(t,0)

所以,這兩種期望值的表述方式等價。

貝克-豪斯多夫引理[编辑]

算符A_{\mathcal{H}}(t)的定義式涉及到指數函數e^{-iHt/\hbar},必須通過其泰勒級數計算,這是個很繁雜的過程,可以利用貝克-豪斯多夫引理英语Baker-Hausdorff lemma來計算[2]:95

 {e^B A e^{-B}} = A + [B,A] + \frac{1}{2!} [B,[B,A]] + \frac{1}{3!}[B,[B,[B,A]]]+\cdots

對於算符A_{\mathcal{H}}(t),可以得到

A_{\mathcal{H}}(t)=A_{\mathcal{H}}(0)+\frac{it}{\hbar}[H,A_{\mathcal{H}}(0)] - \frac{t^{2}}{2!\hbar^{2}}[H,[H,A_{\mathcal{H}}(0)]] 
- \frac{it^3}{3!\hbar^3}[H,[H,[H,A_{\mathcal{H}}(0)]]] + \cdots

由於帕松括號與對易算符的關係,在哈密頓力學裏,這方程式也成立。

自由粒子範例[编辑]

本節運算只涉及海森堡繪景,為了簡便起見,忽略下標\mathcal{H} 。設想自由粒子系統,其哈密頓量為[2]:85-86

H=\frac{p^{2}}{2m}

動量p的海森堡運動方程式為

{d \over dt} p(t)={1 \over i\hbar }[p,H]=0

這是因為pH對易。所以,動量p是個常數:

p(t)=p(0)

位置x的海森堡運動方程式為

{d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }[x,H]=\frac{p}{m}

所以,位置與時間的關係式為

x(t)=x(0)+\frac{p(0)}{m}t

換另一種方法,算符隨著時間流易而演化的方程式為

x(t)= e^{iHt/\hbar}x(0) e^{-iHt/\hbar}

利用貝克-豪斯多夫引理英语Baker-Hausdorff lemma

x(t)=x(0)+\frac{it}{\hbar}[H,x(0)] - \frac{t^{2}}{2!\hbar^{2}}[H,[H,x(0)]] - \frac{it^3}{3!\hbar^3}[H,[H,[H,x(0)]]] + \cdots

注意到以下兩個對易關係式:

[H,x(0)]=\frac{-i\hbar p(0)}{m}
[H,p(0)]=0

將這兩個對易關係式代入,可以得到同樣的位置與時間的關係式:

x(t)=x(0)+\frac{p(0)}{m}t

注意到位置在不同時間的對易子不等於零:

[x(t),x(0)]=\left[\frac{p(0)t}{m},x(0)\right]=\frac{-i\hbar t}{m}

諧振子範例[编辑]

本節運算只涉及海森堡繪景,為了簡便起見,忽略下標\mathcal{H} 。設想諧振子系統,其哈密頓量為[2]:89, 94-97

H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{m\omega^2x^2}{2}

其中,\omega為諧振子頻率。

動量算符p位置算符x的海森堡運動方程式分別為

{d \over dt}p(t)={1 \over i\hbar }[p(t),H]=-m\omega^2x(t)
{d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }[x(t),H]=\frac{p(t)}{m}

再求這兩個方程式對於時間的導數,

{d^2 \over dt^2} p(t) = {-m \omega^{2} \over i\hbar } [x(t),H]= - \omega^{2} p(t)
{d^2 \over dt^2} x(t) = {1 \over im\hbar } [p(t),H]= - \omega^{2} x(t)

設定動量算符、位置算符的初始條件分別為

p(0)=p_0
x(0)=x_0

則在初始時間,

\dot{p}(0)= - m\omega^{2} x_0
\dot{x}(0)=\frac{p_0}{m}

所以,二次微分方程式的解答分別是

p(t)=p_{0}\cos(\omega t) - m\omega\!x_{0}\sin(\omega t)
x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+\frac{p_{0}}{ m\omega}\sin(\omega t)

稍加運算,可以得到海森堡繪景裏的對易關係:

[p(t_{1}), p(t_{2})]=i\hbar m\omega\sin(\omega t_{2} - \omega t_{1})
[x(t_{1}), x(t_{2})]=\frac{i\hbar}{m\omega}\sin(\omega t_{2} - \omega t_{1})
[x(t_{1}), p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2} - \omega t_{1})

假若t_{1}=t_{2},則立刻會得到熟悉的正則對易關係。

換另一種方法,算符隨著時間流易而演化的方程式為

x(t)= e^{iHt/\hbar}x(0) e^{-iHt/\hbar}

利用貝克-豪斯多夫引理英语Baker-Hausdorff lemma

x(t)=x(0)+\frac{it}{\hbar}[H,x(0)] - \frac{t^{2}}{2!\hbar^{2}}[H,[H,x(0)]] - \frac{it^3}{3!\hbar^3}[H,[H,[H,x(0)]]] + \cdots

注意到以下兩個對易關係式:

[H,x(0)]=\frac{-i\hbar p(0)}{m}
[H,p(0)]=i\hbar m\omega^2 x(0)

將這兩個對易關係式代入,可以得到同樣的位置與時間的關係式:

\begin{align} x(t) & =x(0)+\frac{p(0)}{m\omega}\omega t-x(0)\frac{\omega^2 t^2}{2!}-\frac{p(0)}{m\omega}\frac{\omega^3 t^3}{3!}+ \cdots  \\
  & = x(0)\cos(\omega t)+ \frac{p(0)}{m\omega}\sin(\omega t) \\
\end{align}

類似地,也可以得到同樣的動量與時間的關係式。

各種繪景比較摘要[编辑]

各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化:[2]:86-89, 337-339

演化 海森堡繪景 交互作用繪景 薛丁格繪景
右矢 常定  | \psi(t) \rang_{\mathcal{I}} = e^{i H_0t/\hbar} | \psi(t) \rang_{\mathcal{S}}  |\psi(t) \rang_{\mathcal{S}}= e^{-iHt/\hbar} | \psi(0) \rang_{\mathcal{S}}
可觀察量 A_{\mathcal{H}}(t)=e^{i Ht/\hbar} A_{\mathcal{S}}e^{-i Ht/\hbar} A_{\mathcal{I}}(t)=e^{i H_0t/\hbar} A_{\mathcal{S}}e^{-i H_0t/\hbar} 常定
密度算符 常定 \rho_{\mathcal{I}}(t)=e^{i H_0t/\hbar} \rho_S (t) e^{-i H_0/\hbar} \rho_{\mathcal{S}}(t)=  e^{-i Ht/\hbar}\rho_{\mathcal{S}}(0) e^{iHt/\hbar}

註釋[编辑]

  1. ^ 在薛丁格繪景裏,假若勢能與時間有關,V=V(t),則哈密頓算符H=\frac{P^2}{2m}+V(t)也與時間有關。
  2. ^ 在薛丁格繪景裏,假若哈密頓算符含時,H_{\mathcal{S}}=H_{\mathcal{S}}(t),則時間演化算符會比較複雜。更詳盡內容,請查閱條目時間演化算符
  3. ^ 處於不同時間t_1t_2的哈密頓算符H(t_1)H(t_2)可能會不相互對易:
    [H(t_1),H(t_2)]\ne[H(t_2),H(t_1)]
    對於這案例,時間演化算符必須用戴森級數英语Dyson series來表示,時間演化算符與哈密頓算符也會不相互對易。[2]:69-71
  4. ^ 假若算符A_{\mathcal{S}}含時:
    A_{\mathcal{S}}=A_{\mathcal{S}}(t)
    則算符A_{\mathcal{H}}(t)對於時間的導數是
    \begin{align} {d \over dt} A_{\mathcal{H}}(t)  & =\frac{\partial U^{\dagger}(t,0)}{\partial t}A_{\mathcal{S}}U(t,0)+U^{\dagger}(t,0)A_{\mathcal{S}}\frac{\partial U(t,0)}{\partial t}+U^{\dagger}(t,0)\frac{\partial A_{\mathcal{S}}}{\partial t}U(t,0) \\ 
 & ={1 \over i\hbar }[U^{\dagger}A_{\mathcal{S}}U,U^{\dagger}HU] +U^{\dagger}(t,0)\frac{\partial A_{\mathcal{S}}}{\partial t}U(t,0) \\
\end{align}
  5. ^ 假若處於不同時間t_1t_2的哈密頓算符H(t_1)H(t_2)不相互對易:
    [H(t_1),H(t_2)]\ne[H(t_2),H(t_1)]
    則哈密頓量在兩種繪景裏的形式可能不相同。[2]:69-71

參考文獻[编辑]

  • Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu, Frank Laloe. Quantum Mechanics (Volume One). Paris: Wiley. 1977: 312–314. ISBN 047116433X. 
  1. ^ Robert D. Klauber. Student Friendly Quantum Field Theory: Basic Principles and Quantum Electrodynamics (PDF). Sandtrove Press. 2013. ISBN 978-0-9845139-3-2. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 
  3. ^ Parker, C.B. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 2nd. Mc Graw Hill. 1994: 786, 1261. ISBN 0-07-051400-3. 
  4. ^ Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur, E. Hecht. Quantum mechanics. Schuam's outline series 2nd. McGraw Hill. 2010: 70. ISBN 9-780071-623582. 
  5. ^ Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley, 1980, ISBN 0201657023 (English) 

參閱[编辑]