各種函數 |
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x ↦ f (x) |
不同定義域和陪域 |
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→ , → , → 
→ , → 
→ , → , → 
→ , → , → 
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函數類/性質 |
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構造 |
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推廣 |
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满射或蓋射(英語:surjection、onto),或稱满射函数或映成函數,一个函数
为满射,則对于任意的陪域
中的元素
,在函数的定义域
中存在一點
使得
。换句话说,
是满射時,它的值域
与陪域
相等,或者,等价地,如果每一个陪域中的元素
其原像
不等於空集合。
例子和反例[编辑]
函数
,定义为
,不是一个满射,因为,(舉例)不存在一个实数满足
。
但是,如果把
的陪域限制到只有非负实数,则函数
为满射。这是因为,给定一个任意的非负实数
,我们能对
求解,得到
。

雙射(單射與滿射)
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單射(one to one)但非滿射
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滿射(onto)但非单射
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非滿射非單射
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根据定义,函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。
若將定義在
上的函數
,視為其圖像,即
(集合論經常如此行),則滿射與否,不僅是
的性質,而是映射(需要聲明陪域)的性質。[1]單射與否可以單憑圖像判斷,但滿射則不同,不能單憑圖像判斷,因為要知道陪域。
右可逆函數[编辑]
函數
稱為函數
的右逆,意思是
對
的所有元素
成立。簡而言之,
的效果,可以
復原。用文字表示,
是
的右逆,意思是先做
後做
的複合
,等於
上的恆等函數,即不造成任何變化。此處不要求
是
的真正反函數,因為另一次序的複合
,不必是
的恆等函數。換言之,
可以「復原」或「抵消」
,但不必被
復原或抵消。
若函數有右逆,則必為滿射。但反之,「每個滿射皆有右逆」此一命題,等價於選擇公理,故在某些集合論中(例如假設決定公理為真的集合論系統),不必為真。
若
為滿射,
為
的子集,則
,即從預象
,可以找回
。
右可消去[编辑]
函數
是滿射,當且僅當其為右可消去:[2]給定任何兩個有公共定義域和陪域的函數
,若
,則有
。此性質的敍述用到函數和複合,可以對應推廣成範疇的態射和複合。右可消的態射稱為滿態射或滿同態。滿射與滿態射的關係在於,滿射就是集合範疇中的滿態射。
範疇論中,有右逆的態射必為滿態射,但反之則不然。態射
的右逆
也稱為
的截面。而有右逆的態射稱為分裂滿態射,是一類特殊的滿態射。
作為二元關係[编辑]
以
為定義域,
為值域的函數,可以視為兩集合之間的左全右唯一的二元關係,因為可將函數與圖像等同。此觀點下,由
到
的滿射,是右唯一而既左全又右全的關係。
定義域不小於陪域[编辑]
滿射的定義域,必有大於或等於其陪域的基數:若
為滿射,則
的元素個數必定至少等於
的元素個數(在基數意義下)。但此結論的證明,需要假定選擇公理,以證明
有右逆,即存在函數
使得
對
的任意元素
成立。滿足此性質的
必為單射,故由基數大小比較的定義,有
。
特別地,若
和
皆是有限,且兩者的元素個數相同,則
是滿射當且僅當
為單射。
給定兩個集合
和
,以
表示「或者
為空,或者存在由
至
的滿射」。利用選擇公理,可以證明,
和
兩者一起,足以推出
。此為康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理的變式。
複合與分解[编辑]
兩個滿射的複合仍是滿射:若
和
皆為滿射,且
的陪域是
的定義域,則
也是滿射。反之,若
為滿,則
是滿射,但
不必為滿射。與右可消去一節一樣,從集合範疇的滿射,可以推廣到一般範疇的滿態射。
任何函數都可以分解成一個滿射與一個單射的複合:對任意
,都存在滿射
和單射
使得
,取法如下:定義
為所有原像
的集合,其中
歷遍
的值域。該些原像兩兩互斥,且劃分
。於是,
將每個
映到包含
的原像(此為
的元素),然後
再將
的每個元素(形如
)映到相應的
。則
為滿射(因為
中的元素,是原像
,且非空,故有某個
,所以由
的定義有
),而根據
的定義,其為單射。
導出滿射和導出雙射[编辑]
任何函數,若將其陪域限制成值域,則可以視為滿射,稱為其導出滿射。任何滿射,若將定義域換成商集,即將函數值相同的參數,摺疊成同一個「等價類」,則得到一個雙射,其由等價類組成的集合,射去原函數的陪域。以符號表示,每個滿射
可以分解成先做一個商映射,再做一個雙射。考慮以下等價關係:
當且僅當
。以
表示此等價關係下,
的等價類的集合。換言之,
是
所有原像的集合。以
表示將
映到等價類
的商映射,又設
,定義為
,則
。由定義知,
是滿射,而
是雙射。
相关条目[编辑]
參考文獻[编辑]
- ^ T. M. Apostol. Mathematical Analysis. Addison-Wesley. 1981: 35.
- ^ Goldblatt, Robert. Topoi, the Categorial Analysis of Logic [拓撲斯,邏輯的範疇論分析] Revised. Dover Publications. 2006 [1984] [2009-11-25]. ISBN 978-0-486-45026-1. (原始内容存档于2020-03-21) (英语).