满射

满射或蓋射（英语：surjection、onto），或稱满射函数或映成函數，一个函数 $f:X\rightarrow Y$ $f:X\rightarrow Y$ 为满射，則对于任意的陪域 $Y$ $Y$ 中的元素 $y$ $y$ ，在函数的定义域 $X$ $X$ 中存在一點 $x$ $x$ 使得 $f(x)=y$ $f(x)=y$ 。换句话说， $f$ $f$ 是满射時，它的值域 $f(X)$ $f(X)$ 与陪域 $Y$ $Y$ 相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素 $y\in Y$ $y\in Y$ 其原像 $f^{-1}(y)\subseteq X$ $f^{-1}(y)\subseteq X$ 不等於空集合。

例子和反例[编辑]

函数 $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $g:{\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}}$ ，定义为 $g(x)=x^{2}$ $g(x)=x^{2}$ ，不是一个满射，因为，（舉例）不存在一个实数满足 $x^{2}=-1$ $x^{2}=-1$ 。

但是，如果把 $g$ $g$ 的陪域限制到只有非负实数，则函数 $g$ $g$ 为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数 $y$ $y$ ，我们能对 $y=x^{2}$ $y=x^2$ 求解，得到 $x=\pm {\sqrt {y}}$ $x=\pm {\sqrt {y}}$ 。

雙射（單射與滿射）	單射但非滿射
滿射但非单射	非滿射非單射

性质[编辑]

函数 $f:X\rightarrow Y$ $f:X\rightarrow Y$ 为一个满射，当且仅当存在一个函数 $g:Y\rightarrow X$ $g:Y\rightarrow X$ 满足 $f\circ g$ $f\circ g$ 等于 $Y$ $Y$ 上的单位函数。（这个陈述等價于选择公理。）
根据定义，函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。
如果 $f\circ g$ $f\circ g$ 是满射，则 $f$ $f$ 是满射。
如果 $f$ $f$ 和 $g$ $g$ 皆为满射，则 $f\circ g$ $f\circ g$ 为满射。
$f:X\rightarrow Y$ $f:X\rightarrow Y$ 为满射，当且仅当给定任意函数 $g,h:Y\rightarrow Z$ $g,h:Y\rightarrow Z$ 满足 $g\circ f=h\circ f$ $g\circ f=h\circ f$ ，则 $g=h$ $g=h$ 。
如果 $f:X\rightarrow Y$ $f:X\rightarrow Y$ 为满射，且 $B$ $B$ 是 $Y$ $Y$ 的子集，则， $f(f^{-1}(B))=B$ $f(f^{{-1}}(B))=B$ 。因此， $B$ $B$ 能被其原像复原。
任意函数 $h:X\rightarrow Y$ $h:X\rightarrow Y$ 都可以分解为一个适当的满射 $f$ $f$ 和单射 $g$ $g$ ，使得 $h=g\circ f$ $h=g\circ f$ 。
如果 $f:X\rightarrow Y$ $f:X\rightarrow Y$ 为满射函数，则 $X$ $X$ 在基数意义上至少有跟 $Y$ $Y$ 一样多的元素。
如果 $X$ $X$ 和 $Y$ $Y$ 皆为具有相同元素数的有限集合，则 $f:X\rightarrow Y$ $f:X\rightarrow Y$ 是满射当且仅当 $f$ $f$ 是单射。