# 滾動

## 純滾動的物理學

### 能量

${\displaystyle K_{\text{rolling}}=K_{\text{translation}}+K_{\text{rotation}}}$
 .mw-parser-output .hidden-begin{box-sizing:border-box;width:100%;padding:5px;border:none;font-size:95%}.mw-parser-output .hidden-title{font-weight:bold;line-height:1.6;text-align:left}.mw-parser-output .hidden-content{text-align:left}推導 令${\displaystyle r}$為接觸點和質心之間的距離。當表面平坦時，這也是物體在最寬截面上的半徑。因為質心的瞬時速度就如同它接觸點為中心的速度一樣，其速度為${\displaystyle v_{\text{c.o.m.}}=r\omega }$。Due to symmetry, the object center of mass is a point in its axis。令${\displaystyle I_{\text{rotation}}}$為繞著對稱軸旋轉的轉動慣量，根據平行軸定理，可得純滾動下的轉動慣量為${\displaystyle I_{\text{rolling}}=mr^{2}+I_{\text{rotation}}}$（和物體繞著接觸點純旋轉的轉動慣量相同）。利用旋轉動能的公式，可得： {\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{rolling}}&={\frac {1}{2}}I_{\text{rolling}}\omega ^{2}\\&={\frac {1}{2}}mr^{2}\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}I_{\text{rotation}}\omega ^{2}\\&={\frac {1}{2}}m(r\omega )^{2}+{\frac {1}{2}}I_{\text{rotation}}\omega ^{2}\\&={\frac {1}{2}}mv_{\text{c.o.m.}}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{\text{rotation}}\omega ^{2}\\&=K_{\text{translation}}+K_{\text{rotation}}\\\end{aligned}}}

### 力和加速度

${\displaystyle a={\frac {F_{\text{net}}}{m}}=r\alpha ={\frac {r\tau }{I}}.}$

{\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{net}}&={\frac {F_{\text{external}}}{1+{\frac {I}{mr^{2}}}}}={\frac {F_{\text{external}}}{1+\left({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}}}\\a&={\frac {F_{\text{external}}}{m+{\frac {I}{r^{2}}}}}\end{aligned}}}

 ${\displaystyle F_{\text{net}}=F_{\text{external}}-F_{\text{friction}}}$ ${\displaystyle (1)}$

{\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {\tau }{I}}&={\frac {F_{\text{net}}}{m}}\\r{\frac {rF_{\text{friction}}}{I}}&={\frac {F_{\text{net}}}{m}}\\F_{\text{friction}}&={\frac {IF_{\text{net}}}{mr^{2}}}\\\end{aligned}}}

${\displaystyle (1)}$中的${\displaystyle F_{\text{friction}}}$展開：

{\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{net}}&=F_{\text{external}}-{\frac {IF_{\text{net}}}{mr^{2}}}\\&=F_{\text{external}}-{\frac {I}{mr^{2}}}F_{\text{net}}\\&={\frac {F_{\text{external}}}{1+{\frac {I}{mr^{2}}}}}\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {F_{\text{net}}}{m}}\\&={\frac {\left({\frac {F_{\text{external}}}{1+{\frac {I}{mr^{2}}}}}\right)}{m}}\\&={\frac {F_{\text{external}}}{m\left(1+{\frac {I}{mr^{2}}}\right)}}\\&={\frac {F_{\text{external}}}{m+{\frac {I}{r^{2}}}}}\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{gyr.}}&={\sqrt {\frac {I}{m}}}\\r_{\text{gyr.}}^{2}&={\frac {I}{m}}\\{\frac {I}{mr^{2}}}&={\frac {\left({\frac {I}{m}}\right)}{r^{2}}}\\&={\frac {r_{\text{gyr.}}^{2}}{r^{2}}}\\&=\left({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}\\\end{aligned}}}

${\displaystyle F_{\text{net}}={\frac {F_{\text{external}}}{1+\left({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle {\tfrac {I}{r^{2}}}}$的因次和質量相同，若一質點在距旋轉軸${\displaystyle r}$的位置，要有${\displaystyle I}$的轉動慣量，其需要的質量即為${\displaystyle {\tfrac {I}{r^{2}}}}$。因此${\displaystyle {\tfrac {I}{r^{2}}}}$可以視為是等效於滾動物體轉動慣量的質量。在純滾動時，外力對物體的影響可以概念化，變成針對質量是${\displaystyle m+{\tfrac {I}{r^{2}}}}$（實際質量以及轉動慣量等效質量）的物體進行加速。因為外力作的功需克服移動慣量以及轉動慣量的影響，因此其產生的總力會比外力要小，二者的比例可以用无量纲係數${\displaystyle 1/\left(1+{\tfrac {I}{mr^{2}}}\right)}$表示，其中${\displaystyle {\tfrac {I}{mr^{2}}}}$就是轉動慣量等效質量和實際質量的比例，等於${\displaystyle \left({\tfrac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}}$，而${\displaystyle r_{\text{gyr.}}}$為物體在純轉動時（不是滾動時）的迴轉半徑。其中的平方項是因為質點質量的轉動慣量和相對旋轉軸距離的平方成正比。

{\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{net}}&={\frac {mg\sin \left(\theta \right)}{1+{\frac {I}{mr^{2}}}}}={\frac {mg\sin \left(\theta \right)}{1+\left({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}}}\\a&={\frac {g\sin \left(\theta \right)}{1+\left({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}}}\end{aligned}}}

${\displaystyle a={\frac {F_{\text{net}}}{m}}={\frac {g\sin \left(\theta \right)}{1+\left({\tfrac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle {\tfrac {r_{\text{gyr.}}}{r}}}$和物體的形狀以及其相對旋轉軸質量分布有關，和其大小和密度無關。因此針對一參考用的滾動物體，另一較大物體或是其他密度的物體，只要${\displaystyle {\tfrac {r_{\text{gyr.}}}{r}}}$相同，從同一斜面滾下，其加速度會相同。此情形類似在不考慮空氣阻力的情形下，不同物體從同一斜面滾下，其加速度會相同的情形一樣。

### 滾動速度

#### 不考慮摩擦力時的滾動速度

${\displaystyle v=u+at}$

u = 0，${\displaystyle a=g\sin \theta }$，因此

${\displaystyle v=gt\sin \theta \,}$

#### 考慮摩擦力時的滾動速度

{\displaystyle {\begin{aligned}F&=ma\\&={\frac {m(v-u)}{t}}\\&={\frac {m(v-0)}{t}}\\&={\frac {mv}{t}}\\\Rightarrow v&={\frac {Ft}{m}}={\frac {\left(F_{R}-F_{f}\right)t}{m}}\\&={\frac {(mg-\mu F_{N}\cos \theta )t}{m}}\\&={\frac {(mg-\mu mg\cos \theta )t}{m}}\\&={\frac {mg(1-\mu \cos \theta )t}{m}}\\&=gt(1-\mu \cos \theta )\end{aligned}}}

${\displaystyle v=gt(\sin \theta -\mu \cos \theta )}$

## 參考資料

Halliday, David; Resnick, Robert, Fundamentals of Physics, Chapters 10, 11: Wiley, 2013