漸伸線(involute)(或稱漸開線(evolvent))和漸屈線(evolute)是曲線的微分幾何上互為表裡的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線,曲線B是曲線A的漸屈線。
在曲線上選一定點S。有一動點P由S出發沿曲線移動,選在P的切線上的Q,使得曲線長SP 和直線段長PQ 相同。漸伸線就是Q的軌跡。
若曲線B有參數方程
,其中
,曲線A的方程為
。
曲線的漸屈線是該曲線每點的曲率中心的集。
若該曲線有參數方程
(
),則其漸屈線為
。
每條曲線可有無窮多條漸伸線,但只有一條漸屈線。
參數化曲線[编辑]
漸開線方程曲線的參數化定義的函數( x(t) , y(t) ) 是:
![X[x,y]=x-\frac{x'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203e22b2482eac10aaea0446f9a3e69e82db9674)
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圓的漸伸線 (反向, by unwinding)
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懸鏈線的漸開線是一個 曳物線。
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圓的漸伸線[编辑]
圓的漸伸線會形成一個類似阿基米德螺線的圖形。


其中
是圓的半徑,
為參數
- 在 極坐標系中,
一個圓的漸開線的參數方程可以寫成:


其中
是圓的半徑
為參數
通常,一個圓的漸開線常被寫成寫成:

.
歐拉建議使用圓的漸開線作為齒輪的形狀, 這個設計普遍存在於目前使用,稱為漸開線齒輪。
懸鏈線的漸開線[编辑]
一個懸鏈線的漸開線 會通過此懸鏈線的頂點 ,形成曳物線。 在笛卡兒坐標系中,一個懸鏈線的漸開線的參數方程可以寫成:


其中t 是參數,而sech是雙曲正割函數(1/cosh(x))
衍生
用
我們得到
且
。
替代成
可得到
。
擺線的漸開線[编辑]
一個 擺線的漸開線是另一個與它 全等的擺線 在笛卡兒坐標系中,一個擺線的漸開線的參數方程可以寫成:


其中t是角度,r是半徑
外部連結[编辑]