漸伸線

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漸伸線(involute,或稱漸開線(evolent))和漸屈線(evolute)是曲線的微分幾何上互為表裡的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線,曲線B是曲線A的漸屈線。

在曲線上選一定點S。有一動點PS出發沿曲線移動,選在P的切線上的Q,使得曲線長SP 和直線段長PQ 相同。漸伸線就是Q的軌跡。

若曲線B有參數方程,其中,曲線A的方程為

曲線的漸屈線是該曲線每點的曲率中心的集。

若該曲線有參數方程),則其漸屈線為

每條曲線可有無窮多條漸伸線,但只有一條漸屈線。

漸屈線 漸伸線
懸鏈線 曳物線
圓內螺線外擺線 相似的圓內螺線/外擺線
擺線 相同的擺線
半立方拋物線 拋物線

參數化曲線[编辑]

漸開線方程曲線的參數化定義的函數(x(t), y(t))是:



範例[编辑]

Involut cir.jpg
圓的漸伸線
(反向, by unwinding)
懸鏈線的漸開線是一個曳物線

圓的漸伸線[编辑]

圓的漸伸線會形成一個類似阿基米德螺線的圖形。

其中是圓的半徑,為參數

  • 極坐標系中,一個圓的漸開線的參數方程可以寫成:

其中是圓的半徑為參數

通常,一個圓的漸開線常被寫成寫成:

.

歐拉建議使用圓的漸開線作為齒輪的形狀,這個設計普遍存在於目前使用,稱為漸開線齒輪

懸鏈線的漸開線[编辑]

一個懸鏈線的漸開線會通過此懸鏈線的頂點,形成曳物線。在笛卡兒坐標系中,一個懸鏈線的漸開線的參數方程可以寫成:

其中t是參數,而sech是雙曲正割函數(1/cosh(x))

衍生

我們得到

.

替代成

可得到.

擺線的漸開線[编辑]

一個擺線的漸開線是另一個與它全等的擺線在笛卡兒坐標系中,一個擺線的漸開線的參數方程可以寫成:

其中t是角度,r半徑

另外參見[编辑]

外部連結[编辑]