火腿三明治定理

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火腿三明治定理英語:Ham sandwich theorm),也被称为Stone-Tukey定理,它在测度论中有重要的意义。火腿三明治定理说明在n-维空间中有n个可测量的“物体”,可以用一个(n-1)-维的超平面把它们同時分成測度相等的两部分。

命名[编辑]

当 n=3 时,就像一个三明治一样——这里的三个“物体”则是两片面包和中间的火腿。用一个平面可以同时把三个“物体”截断。

二維版本的證明:「旋轉刀片」[编辑]

二維版本的證明比任意維度的證明較為簡單,流程如下:

對任何角度,均存在一條與 X 軸成角度的直線平分第一個物體。(需使用介值定理) 令由 0 增加到 ,再使用介值定理,則存在一條直線同時平分第二個物體。

定理的離散版本[编辑]

離散版本可以視為定理的特例,當中每一個"物體"都是用有限個點組成的集合,並使用計數測度。但需要考慮點剛好落左超平面上時的情況。

參考文獻[编辑]