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几何学拓扑学以及数学的相关分支中,一个空间中的用于描述给定空间中一种特别的对象,在空间中有类似于体积、面积、长度或其他高维类似物。一个点是一个零维度对象。点作为最简单的几何概念,通常作为几何物理矢量图形和其他领域中的最基本的组成部分。

數學的點-歷史[编辑]

亞里斯多德的著作【論天體】第三冊中,已經提到數學中的點是沒有大小的[1][2],他依此來駁斥柏拉圖將數學的幾何形視為物理實體的構成要素[3](參見正多面體),並強調這與當時的數學定義相違背[4]:數學的平面沒有厚度,所以不能構造物理實體。他論述說,如果數學平面有厚度,那麼數學的線就要有寬度才能夠構成平面,而數學的點必須有大小才能構成線,但是在數學中已經明確定義數學的點是沒有大小的,因此柏拉圖的理論與數學相牴觸。從這裡,亞里斯多德陳述說,一個幾何物件只能分割成相同型態的幾何物件(而不會變成其它的東西):平面只能分割成平面,而不能分割成線;線只能分割成線,不能分割成點;這樣的分割可以無限的進行,而不是像原子論者所說的,最後分割到原子(或是基本構成要素)就停止了。

因此,早在歐幾里得的【幾何原本】之前,數學中的點只用來標示位置的用法已經是共識。亞里斯多德提到點的時候,用的字是 στιγμὰς,是可見的點(spot),而歐幾里得則(小心翼翼的)採用另一個字 σημεῖόν,原意是「標示」(sign):

σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.[5]

這句話的意思是:點是沒有部分(μέρος)的東西。點沒有部分,所以也就沒有大小[6]。這個論點來源自亞里斯多德的「部分-整體」理論(part–whole theory):

"the parts are causes of the whole"[7](整體是由部份所構成的。)

幾何原本】的阿拉伯文版,將 σημεῖόν 翻譯為 نقطة[8],意思回到亞里斯多德的可見點[9];拉丁文版則將 σημεῖόν 翻譯為 punctum[10],意思是被尖物刺成的小洞。

歐幾里得幾何中的点[编辑]

二维欧式空间中的有限点集(蓝色).

歐幾里得幾何中,是空間中只有位置,沒有大小的圖形。點是整個歐幾里得幾何學的基礎,後者是研究點,的一種科學。欧几里得最初含糊的定义点作为"没有部分的东西". 在二维欧式空间, 一个点被表示为一个有序对, 其中第一个数字习惯上表示水平位置,通常记为 , 第二个数字习惯上表示竖直位置, 通常记为 . 这一思想很容易广到三维情况, 此时一个点被表示为一个有序三元组, , 第三个数字表示高度, 通常记为 z。更加一般的情况下,点被表示为一个有序 n 元组: 其中 n 为点所在的空间的维度.


現代數學語言中,任何集合的元素都叫作「點」,但與三維空間中的點可以没有任何關係。

其他数学分支中的点[编辑]

点集拓扑中的点, 定义为一个拓扑空间中的集合的元素.

尽管点被看做是主要的几何学和拓扑学中的基本概念, 但是有些几何和拓扑理论并不需要点的概念. 例如非交换几何非点集拓扑. 一个"非点空间"不是作为一个集合来定义的, 而是通过某种类似于几何上的函数空间的结构(代数上的或者逻辑上的): 连续函数代数或者集合代数.

算術中的点[编辑]

1點(Basis Point)的定義為“百分之零點零一”(0.01%)或“一個百分點的一百分之一”,可用算術符號‱表示。它在計算利率、匯率、股票價格等範疇被廣泛應用,因為這些範疇須要牽涉極微小百分數的計算。簡單來說: 一百點=百分之一(100‱ = 1%) 一萬點=百分之一百=一(10000‱ = 100% = 1) 在比較百分數時,除了可以用百分點之外,兩個百分數之間細微的差距也可用點子來表達。例如4.02%與4.05%相差0.03個百分點。

參考資料[编辑]

互動[编辑]

http://www.khanacademy.org/cs/program/1342753278