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熱傳導方程式

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熱傳導方程式(或稱熱方程)是一個重要的偏微分方程,它描述一個區域內的溫度如何隨時間變化。

物理動機[编辑]

一維熱方程圖解(觀看動畫版

熱傳導在三維的等方向均勻介質裡的傳播可用以下方程式表達:

其中:

  • u =u(t, x, y, z)表溫度,它是時間變數t與空間變數(x,y,z)的函數。
  • /是空間中一點的溫度對時間的變化率。
  • , 溫度對三個空間座標軸的二次導數。
  • k決定於材料的熱傳導率密度熱容

熱方程是傅立葉冷卻律的一個推論(詳見條目熱傳導)。

如果考慮的介質不是整個空間,則為了得到方程的唯一解,必須指定u的邊界條件。如果介質是整個空間,為了得到唯一性,必須假定解的增長速度有個指數型的上界,此假定吻合實驗結果。

熱方程的解具有將初始溫度平滑化的特質,這代表熱從高溫處向低溫處傳播。一般而言,許多不同的初始狀態會趨向同一個穩態(熱平衡)。因此我們很難從現存的熱分佈反解初始狀態,即使對極短的時間間隔也一樣。

熱方程也是拋物線偏微分方程最簡單的例子。

利用拉普拉斯算子,熱方程可推廣為下述形式

其中的是對空間變數的拉普拉斯算子。

熱方程支配熱傳導及其它擴散過程,諸如粒子擴散或神經細胞的動作電位。熱方程也可以作為某些金融現象的模型,諸如布莱克-斯科尔斯模型與Ornstein-Uhlenbeck過程。熱方程及其非線性的推廣型式也被應用於影像分析。量子力學中的薛丁格方程雖然有類似熱方程的數學式(但時間參數為純虛數),本質卻不是擴散問題,解的定性行為也完全不同。

就技術上來說,熱方程違背狹義相對論,因為它的解表達了一個擾動可以在瞬間傳播至空間各處。擾動在前方光錐外的影響通常可忽略不計,但是若要為熱傳導推出一個合理的速度,則須轉而考慮一個雙曲線型偏微分方程。

以傅立葉級數解熱方程[编辑]

在理想狀態下一根棍子的熱傳導,配上均勻的邊界條件。

以下解法首先由約瑟夫·傅立葉在他於1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur(中譯:解析熱學)給出。先考慮只有一個空間變數的熱方程,這可以當作棍子的熱傳導之模型。方程式如下:

其中u = u(t, x)是tx的雙變數函數。

  • x是空間變數,所以x ∈ [0,L],其中L表示棍子長度。
  • t是時間變數,所以t ≥ 0。

假設下述初始條件

其中函數f是給定的。再配合下述邊界條件

.

讓我們試著找一個非恆等於零的解,使之滿足邊界條件(3)並具備以下形式:

這套技術稱作分離變數法。現在將u代回方程式(1),

由於等式右邊只依賴x,而左邊只依賴t,兩邊都等於某個常數− λ,於是:

以下將證明(6)沒有λ ≤ 0的解:

假設λ < 0,則存在實數BC使得

從(3)得到

於是有B = 0 = C,這蘊含u恆等於零。

假設λ = 0,則存在實數BC使得

仿上述辦法可從等式(3)推出u恆等於零。

因此必然有λ > 0,此時存在實數ABC使得

從等式(3)可知C = 0,因此存在正整數n使得

由此得到熱方程形如(4)的解。

一般而言,滿足(1)與(3)的解相加後仍是滿足(1)與(3)的解。事實上可以證明滿足(1)、(2)、(3)的解由下述公式給出:

其中

推廣求解技巧[编辑]

上面採用的方法可以推廣到許多不同方程。想法是:在適當的函數空間上,算子可以用它的特徵向量表示。這就自然地導向線性自伴算子譜理論

考慮線性算子Δ u = ux x,以下函數序列

n ≥ 1)

是Δ的特徵向量。誠然:

此外,任何滿足邊界條件f(0)=f(L)=0的Δ的特徵向量都是某個en。令L2(0, L)表 [0, L]上全體平方可積函數的向量空間。這些函數en構成L2(0, L)的一組正交歸一基。更明白地說:

最後,序列{en}nN張出L2(0, L)的一個稠密的線性子空間。這就表明我們實際上已將算子Δ 對角化

非均勻不等向介質中的熱傳導[编辑]

一般而言,熱傳導的研究奠基於以下幾個原理。首先注意到熱流是能量流的一種形式,因此可以談論單位時間內流進空間中一塊區域的熱量。

  • 單位時間內流入區域 V的熱量由一個依賴於時間的量qt(V)給出。假設q有個密度Q(t,x),於是
  • 熱流是個依賴於時間的向量函數H(x),其刻劃如下:單位時間內流經一個面積為dS而單位法向量為n的無窮小曲面元素的熱量是

因此單位時間內進入V的熱流量也由以下的面積分給出

其中n(x)是在x點的向外單位法向量。

其中A(x)是個3×3實對稱正定矩陣

利用格林定理可將之前的面積分轉成一個體積分

  • 溫度在x點對時間的改變率與流進x点所在的無窮小区域的熱量成正比,此比例常數與時間無關,而可能與空間有關,寫作κ(x)。

將以上所有等式合併,便獲得支配熱流的一般公式。

註記

  • 係數κ(x)是該材料在x點的密度比熱的积的倒数。
  • 在等方向性介質的情況,矩陣A只是個純量,等於材料的導熱率。
  • 在非等向的情況,A不一定是純量,我們鮮少能明確寫出熱方程的解。然而通常可考慮相應的抽象柯西問題,證明它是適定的,並(或)導出若干定性結果(諸如初始值保持正性、無窮傳播速度、收斂至平衡態或一些平滑化性質)。這些論證通常有賴於單參數半群理論:舉例來說,如果A是個對稱矩陣,那麼由
定義的橢圓算子是自伴而且耗散的,因此由譜定理導出它生成一個單參數半群。

粒子擴散[编辑]

粒子擴散方程[编辑]

在粒子擴散的模型中,我們考慮的方程涉及

  • 在大量粒子集體擴散的情況:粒子的體積濃度,記作c。或者
  • 在單一粒子的情況:單一粒子對位置的機率密度函數,記作P

不同情況下的方程式:

或者

cP都是位置與時間的函數。D是擴散係數,它控制擴散速度,通常以公尺/秒為單位。

如果擴散係數D依賴於濃度c(或第二種情況下的機率密度P),則我們得到非線性擴散方程

單一粒子在粒子擴散方程下的隨機軌跡是個布朗運動

如果一個粒子在時間時置於,則相應的機率密度函數具有以下形式:

它與機率密度函數的各分量的關係是:

隨機變數服從平均數為0、變異數為正態分佈。在三維的情形,隨機向量服從平均數為、變異數為的正態分佈。

t=0時,上述的表示式帶有奇點。對應於粒子處在原點之初始條件,其機率密度函數是在原點的狄拉克δ函數,記為(三維的推廣是);擴散方程對此初始值的解也稱作格林函數

擴散方程的歷史源流[编辑]

粒子擴散方程首先由Adolf Fick於1855年導得。

以格林函數解擴散方程[编辑]

格林函數是擴散方程在粒子位置已知時的解(數學家稱之為擴散方程的基本解)。當粒子初始位置在原點時,相應的格林函數記作t>0);根據擴散方程對平移的對稱性,對一般的已知初始位置,相應的格林函數是

對於一般的初始條件,擴散方程的解可以透過積分分解為一族格林函數的疊加

舉例來說,設t=0時有一大群粒子,根據濃度分佈的初始值分佈於空間中。擴散方程的解將告訴我們濃度分佈如何隨時間演化。

跟任何(廣義)函數一樣,濃度分佈的初始值可以透過積分表為狄拉克δ函數的疊加:

擴散方程是線性的,因此在之後的任一時刻t,濃度分佈變為:

在粒子擴散的情形,我們可以將狄拉克δ函數對應的初始條件理解為粒子落在一個已知位置。一般而言,任何擴散過程的解都有這種表法,包括熱傳導或動量的擴散;後者關係到流體的黏性現象。

一維格林函數解列表[编辑]

以下以簡寫BC代表邊界條件,IC代表初始條件。

(可能的問題:根據上解,u(0)=0)

應用[编辑]

熱方程在許多現象的數學模型中出現,而且常在金融數學中作為期權的模型出現。著名的布莱克-斯科尔斯模型中的差分方程可以轉成熱方程,並從此導出較簡單的解。許多簡單期權的延伸模型沒有解析解,因此必須以數值方法計算模型給出的定價。熱方程可以用Crank-Nicolson法有效地求數值解,此方法也可用於許多無解析解的模型(詳見文獻Wilmott,1995)。

熱方程在流形上的推廣是處理阿蒂亞-辛格指標定理的主要工具之一,由此也導向熱方程在黎曼幾何中的許多深入應用。

參見[编辑]

文獻[编辑]

  • Einstein, A. "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen." Ann. Phys. 17, 549, 1905. [1]
  • Wilmott P., Howison S., Dewynne J. (1995)The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction. Cambridge University Press.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2.

外部連結[编辑]