牛顿法

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牛顿法Newton's method)又称为牛顿-拉弗森方法Newton-Raphson method),它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数f(x)泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。

起源[编辑]

牛顿法最初由艾萨克·牛顿流数法Method of Fluxions,1671年完成,在牛顿死后的1736年公开发表)。约瑟夫·拉弗森也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。

方法说明[编辑]

蓝线表示方程f而红线表示切线. 可以看出xn+1xn更靠近f所要求的根x.

首先,选择一个接近函数f(x)零点x_0,计算相应的f(x_0)和切线斜率f'(x_0)(这里f'表示函数f导数)。然后我们计算穿过点(x_0, f(x_0))并且斜率为f'(x_0)的直线和x轴的交点的x坐标,也就是求如下方程的解:

f(x_0)= (x_0-x)\cdot f'(x_0)

我们将新求得的点的x坐标命名为x_1,通常x_1会比x_0更接近方程f(x)=0的解。因此我们现在可以利用x_1开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示:

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

已经证明,如果f'连续的,并且待求的零点x是孤立的,那么在零点x周围存在一个区域,只要初始值x_0位于这个邻近区域内,那么牛顿法必定收敛。 并且,如果f'(x)不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说,这意味着每迭代一次,牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

其它例子[编辑]

第一个例子[编辑]

求方程f(x) = cos(x) − x3的根。两边求导,得f '(x) = −sin(x) − 3x2。由于-1 ≤ cos(x) ≤ 1(对于所有x),则-1 ≤ x3 ≤ 1,即-1 ≤ x ≤ 1,可知方程的根位于0和1之间。我们从x0 = 0.5开始。

\begin{matrix}
  x_1 & = & x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} & = & 0.5 - \frac{\cos(0.5) - 0.5^3}{-\sin(0.5) - 3 \times 0.5^2} & = & 1.112141637097 \\
  x_2 & = & x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} & = & \vdots & = & \underline{0.}909672693736 \\
  x_3 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{0.86}7263818209 \\
  x_4 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{0.86547}7135298 \\
  x_5 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{0.8654740331}11 \\
  x_6 & = & \vdots &= & \vdots & = & \underline{0.865474033102}
\end{matrix}

第二个例子[编辑]

牛顿法亦可发挥与泰勒展开式,对于函式展开的功能。


求a的m次方根。

x^m - a = 0

f(x) = x^m - af'(x) = mx^{m-1}

而a的m次方根,亦是x的解,

以牛顿法来迭代:

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^m-a}{mx_n^{m-1}}

x_{n+1} = x_n - \frac{x_n}{m}(1-ax_n^{-m})


(或 x_{n+1} = x_n - \frac{1}{m}(x_n-a\frac{x_n}{x_n^m}))