牛顿法

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
Ganzhi001.jpg

牛顿法Newton's method)又称为牛顿-拉弗森方法Newton-Raphson method),它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。

起源[编辑]

牛顿法最初由艾萨克·牛顿流数法Method of Fluxions,1671年完成,在牛顿死后的1736年公开发表)。约瑟夫·拉弗森也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。

方法说明[编辑]

蓝线表示方程f而红线表示切线. 可以看出xn+1xn更靠近f所要求的根x.

首先,选择一个接近函数零点,计算相应的和切线斜率(这里表示函数导数)。然后我们计算穿过点并且斜率为的直线和轴的交点的坐标,也就是求如下方程的解:

我们将新求得的点的坐标命名为,通常会比更接近方程的解。因此我们现在可以利用开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示:

已经证明,如果连续的,并且待求的零点是孤立的,那么在零点周围存在一个区域,只要初始值位于这个邻近区域内,那么牛顿法必定收敛。 并且,如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说,这意味着每迭代一次,牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

其它例子[编辑]

第一个例子[编辑]

求方程cos(x) − x3=0的根。令f(x) = cos(x) − x3,两边求导,得f '(x) = −sin(x) − 3x2。由于-1 ≤ cos(x) ≤ 1(对于所有x),则-1 ≤ x3 ≤ 1,即-1 ≤ x ≤ 1,可知方程的根位于0和1之间。我们从x0 = 0.5开始。

第二个例子[编辑]

牛顿法亦可发挥与泰勒展开式,对于函式展开的功能。


求a的m次方根。


而a的m次方根,亦是x的解,

以牛顿法来迭代:


(或 )