The characteristic function of a uniform U(–1,1) random variable. This function is real-valued because it corresponds to a random variable that is symmetric around the origin; however characteristic functions may generally be complex-valued.
在概率论中,任何随机变量的特征函数(缩写:ch.f,复数形式:ch.f's)完全定义了它的概率分布。在实直线上,它由以下公式给出,其中X是任何具有该分布的随机变量:
,
其中t是一个实数,i是虚数单位,E表示期望值。
用矩母函数MX(t)来表示(如果它存在),特征函数就是iX的矩母函数,或X在虚数轴上求得的矩母函数。

与矩母函数不同,特征函数总是存在。
如果FX是累积分布函数,那么特征函数由黎曼-斯蒂尔杰斯积分给出:
。
在概率密度函数fX存在的情况下,该公式就变为:
。
如果X是一个向量值随机变量,我们便取自变量t为向量,tX为数量积。
R或Rn上的每一个概率分布都有特征函数,因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分,且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。
一个对称概率密度函数的特征函数(也就是满足fX(x) = fX(-x))是实数,因为从x>0所获得的虚数部分与从x<0所获得的相互抵消。
连续性[编辑]
勒维连续定理说明,假设
为一个随机变量序列,其中每一个
都有特征函数
,那么它依分布收敛于某个随机变量
:
当
如果
当
且
在
处连续,
是
的特征函数。
勒维连续定理可以用来证明弱大数定律。
反演定理[编辑]
在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说,两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。
给定一个特征函数φ,可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数F:
。
一般地,这是一个广义积分;被积分的函数可能只是条件可积而不是勒贝格可积的,也就是说,它的绝对值的积分可能是无穷大。[1]
博赫纳-辛钦定理/公理化定義[编辑]
任意一个函数
是对应于某个概率律
的特征函数,当且仅当满足以下三个条件:
是连续的;
;
是一个正定函数(注意这是一个复杂的条件,与
不等价)。
計算性质[编辑]
特征函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如,如果X1、X2、……、Xn是一个独立(不一定同分布)的随机变量的序列,且

其中ai是常数,那么Sn的特征函数为:

特别地,
。这是因为:
。
注意我们需要
和
的独立性来确立第三和第四个表达式的相等性。
另外一个特殊情况,是
且
为样本平均值。在这个情况下,用
表示平均值,我们便有:
。
特征函数举例[编辑]
分布
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特征函数 φ(t)
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退化分布 δa
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伯努利分布 Bern(p)
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二项分布 B(n, p)
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负二项分布 NB(r, p)
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泊松分布 Pois(λ)
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连续均匀分布 U(a, b)
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拉普拉斯分布 L(μ, b)
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正态分布 N(μ, σ2)
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卡方分布 χ2k
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柯西分布 C(μ, θ)
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伽玛分布 Γ(k, θ)
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指数分布 Exp(λ)
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多元正态分布 N(μ, Σ)
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多元柯西分布 MultiCauchy(μ, Σ) [2]
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Oberhettinger (1973) 提供的特征函数表.
特征函数的应用[编辑]
由于连续定理,特征函数被用于中心极限定理的最常见的证明中。
特征函数还可以用来求出某个随机变量的矩。只要第n个矩存在,特征函数就可以微分n次,得到:
![\operatorname {E}\left(X^{n}\right)=i^{{-n}}\,\varphi _{X}^{{(n)}}(0)=i^{{-n}}\,\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{{t=0}}.\,\!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e6b4080fec36ab7150198da6f2dc65061c27e7d)
例如,假设
具有标准柯西分布。那么
。它在
处不可微,说明柯西分布没有期望值。另外,注意到
个独立的观测的样本平均值
具有特征函数
,利用前一节的结果。这就是标准柯西分布的特征函数;因此,样本平均值与总体本身具有相同的分布。
特征函数的对数是一个累积量母函数,它对于求出累积量是十分有用的;注意有时定义累积量母函数为矩母函数的对数,而把特征函数的对数称为第二累积量母函数。
一个例子[编辑]
具有尺度参数θ和形状参数k的伽玛分布的特征函数为:
。
现在假设我们有:
且
其中X和Y相互独立,我们想要知道X + Y的分布是什么。X和Y特征函数分别为:

根据独立性和特征函数的基本性质,可得:
。
这就是尺度参数为θ、形状参数为k1 + k2的伽玛分布的特征函数,因此我们得出结论:
,
这个结果可以推广到n个独立、具有相同尺度参数的伽玛随机变量:
。
多元特征函数[编辑]
如果
是一个多元随机变量,那么它的特征函数定义为:
。
这裡的点表示向量的点积,而向量
位于
的对偶空间内。用更加常见的矩阵表示法,就是:
。
如果
是一个平均值为零的多元高斯随机变量,那么:

其中
表示正定矩阵 Σ的行列式。
矩阵值随机变量[编辑]
如果
是一个矩阵值随机变量,那么它的特征函数为:

在这裡,
是迹函数,
表示
与
的矩阵乘积。由于矩阵XT一定有迹,因此矩阵X必须与矩阵T的转置的大小相同;因此,如果X是m × n矩阵,那么T必须是n × m矩阵。
注意乘法的顺序不重要(
但
)。
矩阵值随机变量的例子包括威沙特分布和矩阵正态分布。
相关概念[编辑]
相关概念有矩母函数和概率母函数。特征函数对于所有概率分布都存在,但矩母函数不是这样。
特征函数与傅里叶变换有密切的关系:一个概率密度函数
的特征函数是
的连续傅里叶变换的共轭复数(按照通常的惯例)。

其中
表示概率密度函数
的连续傅里叶变换。类似地,从
可以通过傅里叶逆变换求出
:
。
确实,即使当随机变量没有密度时,特征函数仍然可以视为对应于该随机变量的测度的傅里叶变换。
参考文献[编辑]
- ^ P. Levy, Calcul des probabilités, Gauthier-Villars, Paris, 1925. p. 166
- ^ Kotz et al. p. 37 using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution
- Lukacs E. (1970) Characteristic Functions. Griffin, London. pp. 350
- Bisgaard, T. M., Sasvári, Z. (2000) Characteristic Functions and Moment Sequences, Nova Science