特徵標理論

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數學裡,尤其是在群表示理論裡,一個群表示的特徵標character)是指一個將的每個元素連結至表示空間這個內的每個元素之函數。特徵標蘊藏著群的許多重要性質,且因此可以用來做群的研究。

特徵標理論是對有限簡單群分類的一個有重要的工具。在范特-湯普遜定理證明接近一半的地方會有一個用到特徵標的複雜計算。另外還有一些較簡單但一樣重要的結論需用在特徵標理論,如伯恩賽德定理理查·布勞爾鈴木通夫所證出之定理,此定理表示有限簡單群不會有一個為廣義四元群西洛2-子群

定義[编辑]

V為一個F上的有限維向量空間且設為一個群GV上的表示。則ρ的特徵標即為如下給定之函數

其中為矩陣的跡數

一個特徵標χρ若被稱為是不可約的,即表示ρ是一個不可約表示。若被稱為是線性的,則表示ρ的維度等於1。χρ為集合

其中是χρ在群單位元上的值。當ρ是Gk維表示且1為G的單位元時,

特徵標群的情況不同,一個群的特徵標通常不會自己「形成」一個群。

拓撲群的情形[编辑]

調和分析中,通常定義局部緊阿貝爾拓撲群 的特徵標為連續群同態 ;在此, 表示單位圓構成的群,等價地說就是

部份作者將特徵標的定義放寬為連續群同態 ,而將取值在 者稱作么特徵標。其他人則保留原初定義,而將這類廣義的特徵標稱為擬特徵標

的全體特徵標構成一個群 ,群二元運算的定義是 ,稱為對偶群。龐特里雅金對偶性總結了對偶群的一般性質。

性質[编辑]

  • 特徵標是一個類函數,即為對一個共軛類內的所有元素來說,χ會是個常數。
  • 两个同構表示會有相同的特徵標。若系数域的特征char(F)=0,则两个表示為同構的,若且唯若它们有著完全相同的特徵標。
  • 若一個表示可以是多個子表示的直和:,則其相對應的特徵標會是其所有子表示的特徵標之和:
  • 在有限群的情况下,每個特徵標都是n個m次單位根之和,其中n為表示內域的維度,m則是g的
  • F代數封閉的且char(F)不可以整除G|,則G的不可約特徵標之數量等於G共軛類數:

算術性質[编辑]

G的兩個表示,則有下列的等式成立:

其中為兩者的直和為兩者的張量積共軛轉置、以及Alt称为交替積Sym則称为對稱方,其值由下式決定

.

特徵標的誘導與限制[编辑]

為有限群, 為其子群,而 為 G 的表示,其特徵標記為 。令 為誘導表示 的特徵標;根據弗羅貝尼烏斯互反定理,對所有 的特徵標 ,恆有下述等式

此等式可用來刻劃類函數 。事實上,若選定陪集分解

還可以明確地寫下 的取值:

特徵標表[编辑]

一個有限群的不可約特徵標可以形成一個特徵標表,其蘊含著許多有關群G在緊緻形式時的有用資訊。每一行標記著一個不可約特徵標且包含著此一特徵標在每個G的共軛類上的值。

下面是有三個元素之循環群C3的特徵標表:

  (1) (u) (u2)
1 1 1 1
χ1 1 u u2
χ2 1 u2 u

其中的u為一個原三次單位根。

特徵標表總會是正方的,因為不可約表示的數目總會相等於共軛類的數目。特徵標表的第一個行總會是1,其對應至群的當然表示上。

正交關係[编辑]

有關特徵標表最重要的性質之一為其在行與列上都會有著正交關係

對特徵標(即對特徵標表中的行)的內積由下給出:

其中 表示 g上的值的複數共軛。

對於此一內積而言,不可約特徵標两两正規正交:

對表中的列的正交關係則由下列給出:

,其和為

其中相加的範圍為所有G的不可約特徵標,而符號則表示為g的共軛類之大小。

此一正交關係可以幫助許多的運算,如:

  • 將一個未知特徵標分解成不可約特徵標的線性組合。
  • 當只有一些不可約特徵標為可知時,建構其完整的特徵標表。
  • 求出群的共軛類的表示的中心化子的階。
  • 求出群的階。

特徵標表性質[编辑]

一個群G的某些性質可以由其特徵表中推導出來:

  • G的階就是表上所有特徵標之在1上的取值的平方:(χ(1))2的總和(伯恩赛德公式)。
  • G可換的若且唯若對每個在表上的特徵標,χ(1) = 1。
  • G有一個非當然正規子群(即G不是一個簡單群)若且唯若對於某些表上的非當然特徵標χ和一些於G內的非單位元素g,會有χ(1) = χ(g)。

特徵標表通常不會將群分至同構:例如,四元群Q和有8個元素的二面體群D4會有同樣的特徵標表。

有限群之特別例子,詳見有限群表示理論

一維表示的特徵標會形成一個特徵標群,其和數論中有著很重要的關連。

參考文獻[编辑]