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特殊酉群

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群论
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李群
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数学中,n特殊酉群英语:special unitary group),记作 SU(n),是行列式为1 的 n×n 酉矩阵组成的群(一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数)。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由 n×n 酉矩阵组成的酉群 U(n) 的一个子群,酉群又是一般线性群 GL(n, C) 的一个子群。

群 SU(n) 在粒子物理标准模型中有广泛的应用,特别是 SU(2) 在电弱相互作用与 SU(3) 在量子色动力学中。

最简单的情形 SU(1),是平凡群,只有一个元素。群 SU(2) 同构于範數为 1 的四元数,从而微分同胚三维球面。因为单位四元数可表示三维空间中的旋转(差一个符号),我们有一个同态从 SU(2) 到旋转群 SO(3),其

性质[编辑]

特殊酉群 SU(n) 是一个 n2-1 维实矩阵李群。在拓扑上是单连通的。在代数上,它是一个单李群(意为它的李代数是单的,见下)。SU(n) 的中心同构于循环群 Zn。当 n ≥ 3,它的外自同构群Z2,而 SU(2) 的外自同构群是平凡群

SU(n) 代数由 n2 个算子生成,满足交换关系(对 i, j, k, l = 1, 2, ..., n):

另外,算子

满足

这意味着 SU(n) 独立的生成元个数是 n2-1[1]

生成元[编辑]

一般地,SU(n) 的无穷小生成元 T,由一个无埃尔米特矩阵表示。即

以及

基本表示[编辑]

在定义或基本表示中,由 n×n 矩阵表示的生成元是:

这里系数 f 是结构常数,它对所有指标都是反对称的,而系数 d 对所有指标都是对称的。

从而

我们也有

作为一个正规化约定。

伴随表示[编辑]

伴随表示中,生成元表示由 矩阵表示,其元素由结构常数定义:

SU(2)[编辑]

一个一般矩阵元素形如

这里 使得 。我们考虑如下映射 ,(这里 表示 2×2 复矩阵集合),定义为

考虑到 微分同胚 同胚于 ,我们可看到 是一个实线性单射,从而是一个嵌入。现在考虑 限制在三维球面上,记作 ,我们可发现这是三维球面到 的一个紧子流形的一个嵌入。但显然有 ,作为一个流形微分同胚于 ,使 成为一个紧连通李群

现在考虑李代数 ,一个一般元素形如

这里 以及 。易验证这样形式的矩阵的是零并为反埃尔米特的。从而李代数由如下矩阵生成

易见它具有上面提到的一般元素的形式。它们满足关系 。从而交换子括号由

确定。上述生成元与泡利矩阵有关,,

SU(3)[编辑]

SU(3) 的生成元 T,在定义表示中为

这里 盖尔曼矩阵,是 SU(2) 泡利矩阵在 SU(3) 之类比:

注意它们都是无埃尔米特矩阵

它们服从关系

这里 f 是结构常数,如上所定义,它们的值为

d 的取值:

李代数[编辑]

对应的李代数记作 。它的标准数学表示由无迹反埃尔米特 复矩阵组成,以通常交换子李括号粒子物理学家通常增加一个因子 ,从而所有矩阵成为埃尔米特的。这只不过是同一个实李代数一个不同的更方便的表示。注意 上一个李代数。

例如,下列量子力学中使用的矩阵组成 上的一组

(这里 虚数单位。)

这个表示经常用于量子力学(参见泡利矩阵以及盖尔曼矩阵)表示基本粒子比如电子的自旋。它们也作为我们三维空间量子相对论描述中的单位向量

注意任意两个不同生成元的乘积是另一个生成元,以及生成元反交换。与单位矩阵(乘以 )一起

它们也是 的生成元。

当然这里它取决于我们最终处理的问题,比如在非相对论量子力学中为 2-旋量;或在相对论狄拉克理论中,我们需要到 4-旋量的一个扩张;或在数学中甚至是克利福德代数

注:在矩阵乘法下(在此情形是反交换的),生成克利福德代数 ,而在交换子括号下生成李代数

回到一般的

如果我们选择(任意)一个特定的基,则纯虚数无迹对角 矩阵子空间组成一个 嘉当子代数

将这个李代数复化,从而现在允许任何无迹 矩阵。本征向量是嘉当子代数自己,只有一个非零元素的矩阵不是对角的。尽管嘉当子代数 只是 维,但为了化简计算,经常引入一个辅助元素,与所有元素交换的单位矩阵(它不能视为这个李代数的一个元素)。故我们有一个基,其中第 个基向量是在第 个对角元素为 而在其它处为零的矩阵。则权由 个坐标给出,而且在所有 个坐标求和为零(因为单位矩阵只是辅助的)。

,它的邓肯图 给出,有 个顶点的链。

它的根系 个根组成,生成一个 欧几里得空间。这里,我们使用 冗余坐标而不是 坐标来强调根系的对称( 坐标之和为零)。换句话说,我们是将这个 维向量空间嵌入 -维中。则根由所有 置换 。两段以前的构造解释了为什么。单根的一个选取为

,
,
…,
.

它的嘉当矩阵

.

它的外尔群考克斯特群对称群 -单形的对称群。

广义特殊酉群[编辑]

对一个 FF 上广义特殊酉群 SU(p,q;F),F 上一个秩为 n=p+q向量空间上使得一个符号为 (p,q) 的非退化埃尔米特形式不变的所有行列式为 1 线性变换组成的群。这个么正群经常称为 F 上符号为 (p,q) 的特殊酉群。域 F 可以换为一个交换环,在这种情形向量空间换为自由模

特别地,固定 GL(n,R) 中一个符号为 (p,q) 的埃尔米特矩阵,则所有

满足

经常可以见到记号 略去环或域,在这种形式环或域是指 C,这给出一个典型李群。当 F=C 时,A 的标准选取是

对某些维数 A 可能有更好的选择,当限制为 C 的一个子环时有更好表现。

例子[编辑]

这类群的一个重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z[i]),(射影地)作用在二度复双曲空间上,同样地 SL(2,Z) (射影地)作用在二维实双曲空间上。2003年,Gábor Francsics彼得·拉克斯算出了这个群在 上作用的基本域,参见 [1]

另一个例子是 SU(1,1;C),同构于 SL(2,R)。

重要子群[编辑]

在物理学中,特殊酉群用于表示波色对称。在对称性破缺理论中寻找特殊酉群的子群很重要。在大一统理论中 SU(n) 重要的子群是,对 p>1,n-p>1:

为了完整性,还有正交子群:

因为 SU(n) 的n-1,U(1) 是 1,一个有用的检验是看子群的秩是小于还是等于原来群的秩。SU(n) 是多个其它李群的子群:

(参见自旋群
(关于 E6, E7 与 G2 参见单李群)。

有同构 SU(4)=Spin(6)SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)

最后值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆叠群,这个关系在非相对论量子力学 2-旋量的旋转中起着重要的作用。

相关条目[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ R.R. Puri, Mathematical Methods of Quantum Optics, Springer, 2001.

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]