狄利克雷核

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数学分析中,狄利克雷核是指函数列:

D_n(x)=\sum_{k=-n}^n
e^{ikx}=1+2\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.

狄利克雷核的名称得自約翰·彼得·狄利克雷

狄利克雷核的主要应用是在傅里叶级数中。Dn(x)与任何以2π为周期的函数 f卷积f 的第 n 阶傅里叶级数逼近,也就是说:

(D_n*f)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y)D_n(x-y)\,dy=\sum_{k=-n}^n \hat{f}(k)e^{ikx},

其中

\hat{f}(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-ikx}\,dx

f 的第 k 个傅里叶系数。因此,为了研究富利叶级数的收敛性质,只需研究相应的狄利克雷核的性质。狄利克雷核的一个重要特征是当n趋于正无穷时, DnL1范数 也趋于正无穷,并且有:

\| D_n \| _{L^1} \approx \log n

其中\approx表示两者为“同等级别”的无穷大。狄利克雷核的缺乏一致收敛性是导致很多傅里叶级数发散的原因。比如,运用狄利克雷核与一致有界原理我们可以证明连续函数的傅里叶级数甚至不一定逐点收敛。参见傅里叶级数的收敛性

狄拉克δ函数的关系[编辑]

狄拉克δ函数并不是严格意义上的函数,而更多地是一个“广义函数”,或者说“分布”。将周期狄拉克δ函数乘以2π,就可以得到关于周期为2π的卷积运算的单位元,即对于2π为周期的函数f,有:

f*(2\pi \delta)=f \,

这个“函数”的傅立叶级数为:

2\pi \delta(x)\sim\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}=\left(1 +2\sum_{k=1}^\infty\cos(kx)\right).

于是,作为此级数的一个部分和,狄利克雷核可以看作一个“恒等逼近”。然而,这个恒等逼近并不是“正项”的(不是正值函数),因此有上述的局限。

三角恒等式的证明[编辑]

上文中的三角恒等式

\sum_{k=-n}^n e^{ikx}
=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}

可以用等比数列的求和公式得到:首先

\sum_{k=0}^n a r^k=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}.

因此有:

\sum_{k=-n}^n r^k=r^{-n}\cdot\frac{1-r^{2n+1}}{1-r}.

在式中将分子和分母各乘 r−1/2,便有:

\frac{r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}\cdot\frac{1-r^{2n+1}}{1-r} =\frac{r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}.

r = eix 时就有:

\sum_{k=-n}^n e^{ikx}=\frac{e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}} =\frac{-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}

等式当 e^{ix}\neq 1 时,即对于不是2\pi整数倍的x 成立。

对于为2\pi整数倍的x,由于 \frac{\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)} 在对应点的极限是2n+1

\lim\limits_{x\to 2k\pi} \frac{\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)} = 2n+1

因此可以将表达式延伸为连续函数,使得等式对任意x都成立。

狄利克雷核的性质[编辑]

  • 狄利克雷核是一个三角多项式,因此是无穷阶可导的周期函数;
  • 狄利克雷核是偶函数
  • 狄利克雷核的平均值是1;
  • 在正无穷处的平均值为:
\|D_n\|_1=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |D_n(t)| d t =\frac4{\pi^2}\ln n+O(1)