狄拉克場

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量子場論中,狄拉克場用於描述自旋-1/2的費米子,如:電子質子夸克等粒子。並且狄拉克場遵守反正則對易關係,數學上可以表示成有四的分量的旋量或一對兩個分量的外爾旋量。

雖然都用於描述自旋-1/2的費米子,其與馬約拉那場不同。狄拉克場描述的粒子存在反粒子,然而馬約拉那場描述的粒子即為自身的反粒子。

基本性質[编辑]

自由(沒有交互作用)的狄拉克場遵守反正則對易關係,數學上使用到反交換子而非交換子。其中的反對易關係就暗示了費米-狄拉克統計,並且也能推導出包立不相容原理:兩個相同的費米子不能處於相同的量子態。

數學公式[编辑]

狄拉克場表示成。其自由場的運動方程式為狄拉克方程式

其中γ矩陣(或稱作狄拉克矩陣),m代表質量。這個方程式最簡單的解為平面波。平面波組成了一個的傅立葉基底。我們能以此基底作展開,如下:

標示了旋量的指標,表示自旋,s = +1/2或s=−1/2。前面係數中的能量是為了勞倫茲積分的協變性。由於可以視作一個算符,每個傅立葉基底的係數也必須是算符。因此,以及為作用子。這些算符的性質可以從這些場的性質中得知。 遵守反對易關係:

藉由將作展開,我們可以得到係數間的反對易關係:

於非相對論系統中的創造與湮滅算符相類似,從這個代數關係得到了這樣的物理詮釋: 產生一個動量自旋為s的粒子,而產生一個動量自旋為r的反粒子。因此,廣義的現在看作產生所有可能動量、自旋之粒子的總合,而其共軛與其相反,看作湮滅所有動量、自旋之反粒子的總合。

有了對於場及其共軛的瞭解,我們便能試著架構出勞侖茲協變性的場。最單純的量為,當中。其他可能的勞侖茲協變性量

由於這些量的線性組和同樣符合勞侖茲協變性,很自然地得到了狄拉克場的拉格朗日密度,並且其歐拉-拉格朗日方程必須回到狄拉克方程式

這樣的表示將指標隱藏了起來。完整的表示如下:

,我們可以建構出狄拉克場的費曼傳播子

我們定義狄拉克場的時間排序如下,當中的負號來自於其反對易關係的性質:

對上列的式子作平面波的綻開,得到:

在此我們用上了費曼斜線標記。這個式子相當合理,因為係數

即為狄拉克方程式中作用在的相反算符。 純量場的費曼傳播子也具有相同的性質。由於所有合理的觀測量(例如能量、電荷、粒子數等)都由偶數的狄拉克場所構成,兩個觀測量的對易關係在光錐外為零。就如同我們從量子力學中學習到的,兩的可交換的觀察量可以同時被觀測。因此,我們確定了狄拉克場的勞侖茲協變性,並維持了因果律

而更複雜、包含交互作用的場論(湯川理論(Yukawa theory)或量子電動力學)同樣可以微擾或非為擾方法作分析。

在粒子物理標準模型中,狄拉克場扮演很重要的要素。

參閱[编辑]

參考資料[编辑]

  • Edwards, D. (1981). The Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Fermions, Gauge Fields, and Super-symmetry, Part I: Lattice Field Theories, International J. of Theor. Phys., Vol. 20, No. 7.
  • Peskin, M and Schroeder, D. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press. (See pages 35-63.)
  • Srednicki, Mark (2007). Quantum Field Theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0521864497.
  • Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields, (3 volumes) Cambridge University Press.