环同态

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环论抽象代数中,同态是指两个环R與S之间的映射f保持两个环的加法与乘法运算。

更加精确地,如果RS是环,则环同态是一个函数f : RS,使得:

  • f(a + b) = f(a) + f(b),对于R内的所有ab
  • f(ab) = f(a) f(b),对于R内的所有ab
  • f(1) = 1。

如果我们不要求环具有乘法单位元,则最后一个条件不需要。

性质[编辑]

直接从这些定义,我们可以推出:

  • f(0) = 0
  • f(−a) = −f(a)
  • 如果aR内具有乘法逆元,则f(a)在S内具有乘法逆元,且有f(a−1) = (f(a))−1
  • f,定义为ker(f) = {a in R : f(a) = 0},是R内的一个理想。每一个交换环R内的理想都可以从某个环同态用这种方法得出。对于具有单位元的环,环同态的核是一个没有单位元的子环。
  • 环同态f是单射,当且仅当ker(f) = {0}。
  • f,im(f),是S的一个子环。
  • 如果f双射,那么它的逆映射f−1也是环同态。在这种情况下,f称为同构。在环论的立场下,同构的环不能被区分。
  • 如果存在一个环同态f : RS,那么S特征整除R的特征。这有时候可以用来证明在一定的环RS之间,不存在环同态RS
  • 如果R是一个,则f要么是单射,要么是零函数。(但是,如果f保持乘法单位元,则它不能是零函数)。
  • 如果RS都是,则im(f)是S的一个子域(如果f不是零函数)。
  • 如果RS是交换环,S没有零因子,则ker(f)是R的一个素理想
  • 如果RS是交换环,S是一个域,且f是满射,则ker(f)是R的一个最大理想
  • 对于每一个环R,都存在一个唯一的环同态ZR。这就是说,整数环是环范畴中的始对象

例子[编辑]

  • 函数f : ZZn,由f(a) = [a]n = a mod n定义,是一个满射的环同态,它的核为nZ
  • n > 1时,不存在环同态ZnZ
  • 如果R[X]表示变量为X的所有实系数多项式的环,C表示复数,则函数f : R[X] → C,由f(p) = p(i)定义(在多项式p中用虚数单位i来代替变量X),是一个满射的环同态。f的核由R[X]内所有能被X2 + 1整除的多项式组成。.

环同态的种类[编辑]

  • 双射的环同态称为环同构
  • 定义域与值域相同的环同态称为环自同态

在环范畴中,单射的环同态与单同态是相等的:如果f:RS是单同态而不是单射,则它把某个r1r2映射到S的同一个元素。考虑从Z[x]到R的两个映射g1g2,分别把x映射到r1r2f o g1f o g2是相等的,但由于f是单同态,这是不可能的。

然而,在环范畴中,满射的环同态与满同态是非常不同的。例如,ZQ是满同态,但不是满射。

参见[编辑]