环论

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抽象代数中,环论(Ring Theory)是針對一種稱為代数结构之研究,环類似可交換群,有定義運算「+」,此外又定義另一種運算「·」(此處的「+」和「·」不一定是一般的加法及乘法,但和在整數中定義的加法及乘法有類似性質)。环论研究環的結構、環的代數表現方式英语representation of an algebra(或稱為modules英语module (ring theory))、特殊的環(例如群環除环泛包絡代數等),也包括一些和环论有關的定理以及其應用,例如同調代數、及PI環英语PI ring

交换环是指其中運算「·」符合交換律的环,本身比較容易理解。代数几何代數數論中有許多交换环的例子,也帶動了交换环理論的發展,這部份後來稱為交換代數,是現代數學中的主要領域之一。代数几何、代數數論及交換代數在本質上連結的非常緊密,因此有時很難去區分某特定數學原理屬於哪個領域。例如希尔伯特零点定理是代数几何的基本定理,但是陳述及證明時都是以交換代數的方式進行。而费马大定理問題的形式是以基本的算术方式(屬於交換代數的一部份)呈現,但其證明用到很深的代数几何及代数數論。

非交換環英语Noncommutative ring是指其中運算「·」不符合交換律的环,會有一些和交换环不同的的特殊特性。非交換環此一數學概念本身也在進展,而近來的也有一些研究將特定的非交換環以幾何的方式表示,例如在(不存在的)非交換空間下的函数環。這種趨勢自1980年代開始發展,也和量子群的出現同時。目前對非交換環已有多一些的認識,尤其是非交換的諾特環[1]

在「环 (代数)」條目中,有環的定義以及其基本的概念及性質。

一些有關的定理[编辑]

一般:

結構定理:

腳註[编辑]

  1. ^ Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., An introduction to noncommutative Noetherian rings. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp. ISBN 0-521-36086-2