理想類群

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

理想類群代數數論的基本對象之一,簡稱類群。它描述了一個數域理想與元素的差異。理想類群是有限交換群,其元素個數稱作該域的類數

形式定義[编辑]

戴德金整環。此時 中的非零理想對乘法構成一個交換么半群

今將定義其上的等價關係:設 為二非零理想,定義

理想么半群對此關係的商構成一個交換群 ,稱為 的理想類群。

另一套進路是考慮 的非零分式理想構成之交換群,再考慮它對主分式理想 之商,由此得到的對象自然同構於理想類群。

性質[编辑]

  • 理想類群為平凡群的充要條件是該戴德金整環為主理想環
  • 為數域, 為其中的代數整數環,因而是戴德金整環。此時可證明 是有限群。其元素個數記為 ,稱作類數。

例子[编辑]

考慮二次域 。考慮理想

易證此非主理想,因此理想類群非零。事實上,其理想類群是二階循環群