理想類群

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理想類群代數數論的基本對象之一,簡稱類群。它描述了一個數域理想與元素的差異。理想類群是有限交換群,其元素個數稱作該域的類數

形式定義[编辑]

\mathcal{O}戴德金整環。此時 \mathcal{O} 中的非零理想對乘法構成一個交換么半群

今將定義其上的等價關係:設 \mathfrak{a}, \mathfrak{b} 為二非零理想,定義

\mathfrak{a} \sim \mathfrak{b} \Leftrightarrow \exists s,t \in \mathcal{O}^\times \; (s)\mathfrak{a} =  (t) \mathfrak{b}

理想么半群對此關係的商構成一個交換群 \mathrm{Cl}(\mathcal{O}),稱為 \mathcal{O} 的理想類群。

另一套進路是考慮 \mathfrak{O} 的非零分式理想構成之交換群,再考慮它對主分式理想 \{(q) : q \in K^\times \} 之商,由此得到的對象自然同構於理想類群。

性質[编辑]

  • 理想類群為平凡群的充要條件是該戴德金整環為主理想環
  • K 為數域,\mathcal{O}_K 為其中的代數整數環,因而是戴德金整環。此時可證明 \mathcal{O}_K 是有限群。其元素個數記為 h_K,稱作類數。

例子[编辑]

考慮二次域 \mathbb{Q}(\sqrt{-5})。考慮理想

J=(2,1+\sqrt{-5})

易證此非主理想,因此理想類群非零。事實上,其理想類群是二階循環群