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環的局部化

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抽象代數中,局部化是一種在中形式地添加某些元素的倒數,藉以建構分式的技術;由此可透過張量積構造的局部化。範疇局部化過程類似,但此時加入的是態射之逆元素,以使得這些態射在局部化以後變為同構

局部化在環論代數幾何中佔有根本地位,範疇的局部化則引出導範疇的概念,在高等數學中有眾多應用。

幾何詮釋[编辑]

「局部化」一詞源出代數幾何。設 是一個仿射代數簇 的座標環(也就是 上的多項式函數),則 對其元素 的局部化的意義是將 中挖掉,得到的環 正是 的座標環;若對極大理想 作局部化,則可以設想為挖去所有的 ;得到的環 體現 上的多項式函數在 點的局部性質。

藉著將理解為仿射代數簇上的擬凝聚層,可以類似地詮釋模的局部化;它無非是擬凝聚層在一個點的莖。

環的局部化[编辑]

在此僅考慮含單位元的。設 為環,積性子集(定義:對乘法封閉,並包含單位元素的集合)。以下將探討 之局部化。

泛性質[编辑]

的局部化如果存在,是一個環 (或記作 )配上環同態 ,使之滿足以下的泛性質

對任何環 及環同態 ,若 的元素在 下的像皆可逆,則存在唯一的環同態 ,使得 的合成。

此性質可保證局部化 的唯一性。

交換環的情形[编辑]

當交換環 整環時,局部化的構造相當容易。若 ,則 必然是零環;若不然,我們可以在 分式環 中構造局部化:取 為形如 的元素即可。

對於一般的交換環,我們必須推廣分式環的構造;在此須注意到:由於 中可能有零因子,我們不能魯莽地通分一個分式。構造方式如下:

在集合 上定義下述等價關係

存在 使得

等價類 可以想成「分式」 ,藉此類比,在商集 上定義加法與乘法為:

可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態 ,定義為 。於是可定義 ,再 配上上述環運算與同態。在實踐上,我們常逕將 裡的元素寫作分式

交換代數代數幾何中經常考慮兩種局部化:

  • 固定 ,取 。在交換環譜中,對這類 的局部化構成 基本開集 的所有素理想構成的集合)。這種局部化常記作
  • 固定素理想 ,取 ,此時也稱作對素理想 的局部化。這種局部化常記作

以下是 的一些環論性質。

  • 若且唯若
  • 環同態 是單射,若且唯若 中不含零因子。
  • 同態 下的逆像給出下列一一對應:
一個重要的特例是取 ,可知 中的素理想一一對應至 中包含於 的素理想,因此 局部環

非交換環的情形[编辑]

非交換環的局部化較困難,並非對所有積性子集 都有局部化。充分條件之一是歐爾條件,請參閱條目歐爾定理

其應用之一是用於微分算子環。例如它可以解釋作為一個微分算子 抽象地添加逆算子 微局部分析中運用了這類構造。

模的局部化[编辑]

為含單位元的交換環, 是積性子集,而 是個 -模。模的局部化與交換環類似,寫作 。我們依然要求存在模同態 及以下的泛性質(此泛性質蘊含唯一性):

對任何 -模 -模同態 ,存在唯一的 -模同態 ,使得 的合成。

事實上,可以用張量積構造模的局部化:

這是一個正合函子,它將單射映為單射。亦即:平坦-模。利用張量積與環的局部化的泛性質,可以形式地導出上述構造確實滿足局部化的要求。

此外,也可以仿造交換環的局部化,用分式 直接構造 ,分式間的等價與代數運算類似交換環的情形。

範疇的局部化[编辑]

範疇的局部化的意義在將一族態射之逆態射加入範疇中,使得這些態射成為同構。這在形式上近於環的局部化,也能使先前不同構的對象在局部化後變為同構。例如,在同倫理論中有許多連續映射在同倫的意義下可逆,藉著將這些映射局部化,同倫等價的空間可被視為彼此同構。局部化範疇裡的操作也稱作分式運算,相關技術細節請見文獻中 Gabriel-Zisman 或 Weibel 的著作。

一些例子[编辑]

  1. 塞爾提議在模掉某類阿貝爾群 同倫範疇裡操作,這意謂若群 滿足 ,則視之為同構的。稍後 Dennis Sullivan 引進一個大膽的想法:改在空間的局部化裡操作。如此將影響底層的拓撲空間。
  2. 克鲁尔维数至少是 2,此時若兩個 -模 滿足 支撐集的餘維至少是 2,則可視之為偽同構的。岩澤理論大大利用了這個想法。
  3. 同調代數中,我們藉著加入擬同構之逆而得到導範疇
  4. 阿貝爾簇的理論中,我們常等同兩個同源的阿貝爾簇,並將同源映射視為同構。此「至多差一個同源」的範疇是局部化較簡單的例子,實質上不外是將 代以

集合論的問題[编辑]

一般而言,給定一個範疇 及一族態射 ,在探討是否能構造局部化 時會遇到以下問題:當 是小範疇或 是集合時已知可構造局部化,但一般來說則是個棘手的集合論問題;局部化的典型構造可能會造成兩對象間的態射「太多」,換言之可能是個真類。發展模型範疇的動機之一正是要避免這類問題。

文獻[编辑]

  • P. Gabriel and M. Zisman. Calculus of fractions and homotopy theory. Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35.
  • Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X
  • Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra (1994), Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1