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環的譜

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抽象代數學代數幾何學中,一個交換環是指其素理想全體形成的集合,記作。它被賦予扎里斯基拓撲和結構層,從而成爲局部賦環空間

一個局部賦環空間若同構於一個交換環譜,即稱爲仿射概形

扎里斯基拓撲[编辑]

對於交換環 裡的任一理想 ,置 。容易證明下述性質:

  • 若且唯若

因此我們可以在上定義一個拓撲結構,使得其閉子集恰為形如的子集,稱之扎里斯基拓撲

一般而言,扎里斯基拓撲並不滿足豪斯多夫性質

結構層[编辑]

考慮扎里斯基拓撲下的下述預層

為其層化,稱作結構層。顯然有,故構成一個局部賦環空間。

一個元素給出的截面,事實上可以證明

交換環譜間的態射[编辑]

為交換環,為一同態,則可定義一個映射,這是從的連續映射,在結構層上則以定義,那麼給出局部賦環空間的態射。

反之,任何仿射概形間的態射皆由此唯一地給出。上述對應遂建立起交換環的反範疇與仿射概形範疇的等價性。

古典觀點[编辑]

為代數封閉域,給定(i=1,2,...),則方程組定義一個代數簇

。根據希爾伯特零點定理的點一一對應到的極大理想。

一般而言,內的元素一一對應到內的不可約閉集。考慮全體素理想的好處之一,在於可以藉此在概形上運用安德烈·韋伊的一般點(generic point)理論;此外,環同態不一定將極大理想拉回到極大理想,除非該環是 Jacobson 環。

的拓撲結構僅涉及裡的冪零元素看似無幾何意義,但它們在研究無窮小變化及態射的纖維上功效至大。

參見[编辑]