環面曲線

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伯努利雙紐線的外形如∞

環面曲線(toric section)是平面環面相交形成的曲線,正如圓錐曲線圓錐面和平面相交而成的。其方程為:

它們都是四次曲線。

伯努利雙紐線[编辑]

伯努利雙紐線(Lemniscate of Bernoulli)的方程為

求雙紐線的弧長需要應用橢圓積分。雙紐線可視為雙曲線反演變換,反演圓心在雙曲線焦點的中點。

卡西尼卵形線[编辑]

卡西尼卵形線

取兩個定點為焦點。卡西尼卵形線(Cassini oval)是所有這樣的點P的軌跡:和焦點的距離的為常數(這類似橢圓的定義——點和焦點的距離的為常數)。即

直角坐標系,若焦點分別在,卵形線的方程可寫成:

極坐標系

卵形線經過反演變換,依然是卵形線。

卵形線的形狀由的值決定。若,軌跡是一個封閉的圈。若,軌跡是兩個封閉的圈。若,軌跡為伯努利雙紐線。

Hippopede曲線[编辑]

Hippopedes: a=1, b=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0
Hippopedes: b=1, a=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0

Hippopede曲線(或Hippopede of Proclus)的極坐標方程為:

直角坐標系:

,Hippopede曲線為伯努利雙紐線。