关于新加坡及亚洲学校数学奥林匹克的题目，请见「
谢丽尔的生日 」。
生日问题 （Birthday problem）是一个机率论 中的问题，其叙述为：“需要多少人聚在一起，才能让其中至少两人在同一天生日的机率超过一半？”
答案是只需要23 人。这个问题有时被称为“生日悖论 ”（Birthday paradox），但这并非真正的悖论 ，只是因为其结论违反了一般人的直觉。大多数人会认为，在23 人中两人同生日的机率 应该远小于50% 。该问题衍生出的数学理论被广泛用于设计一种名为“生日攻击
生日问题可以理解成盲射打靶问题。首先计算：23 人皆不同生日的概率是多少？可以想象一间空房间，23 人依次进入。每个人进入时，其生日与房间内其他人皆不相同的概率依次为1 、
364
365
{\displaystyle {\frac {364}{365}}}
363
365
{\displaystyle {\frac {363}{365}}}
362
365
{\displaystyle {\frac {362}{365}}}
361
365
{\displaystyle {\frac {361}{365}}}
1
×
364
365
×
363
365
×
362
365
×
361
365
≈
{\displaystyle 1\times {\frac {364}{365}}\times {\frac {363}{365}}\times {\frac {362}{365}}\times {\frac {361}{365}}\approx }
97.3% ；而随着房间内人数增加，最后几人进入时找不到同生日者的概率下降至
345
365
{\displaystyle {\frac {345}{365}}}
344
365
{\displaystyle {\frac {344}{365}}}
343
365
{\displaystyle {\frac {343}{365}}}
这种概率可以看作对靶的盲射：靶面上有365 个格子，其中约有17 个黑格，其余为白格。假设每枪必中靶且落点符合几何概型 ，连射12 枪左右且任何一发都没有击中黑格的概率十分微小。
理解生日问题的关键在于，考虑上述“依次入房”模型中最后几个入房的人“全都没碰到同生日者”的概率。
简言之，大多数人之所以认为23 人中两人同生日的概率远远小于50% ，是因为将问题误解为“其他22 人与*特定某个人*同生日的概率”，而非问题的真谛——“23 人中*任意两人之间*存在生日相同”。如果考虑到23 人之间存在的两两配对组合数量多达253 对，直觉上就能意识到发生生日碰撞的概率其实相当大。
假设有
n
{\displaystyle n}
闰年 、双胞胎 的前提下，假设一年365 日的出生概率平均分布（尽管现实中的出生机率并非完全平均）。
首先找出
p
¯
(
n
)
{\displaystyle {\bar {p}}(n)}
n
{\displaystyle n}
n
>
365
{\displaystyle n>365}
鸽巢原理 其概率为0 ；假设
n
≤
365
{\displaystyle n\leq 365}
p
¯
(
n
)
=
1
⋅
(
1
−
1
365
)
⋅
(
1
−
2
365
)
⋯
(
1
−
n
−
1
365
)
=
365
365
⋅
364
365
⋅
363
365
⋅
362
365
⋯
365
−
n
+
1
365
{\displaystyle {\bar {p}}(n)=1\cdot \left(1-{\frac {1}{365}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{365}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{365}}\right)={\frac {365}{365}}\cdot {\frac {364}{365}}\cdot {\frac {363}{365}}\cdot {\frac {362}{365}}\cdots {\frac {365-n+1}{365}}}
该图片显示特定人数对应的2个人生日一样的概率 因为第二人不能跟第一人同生日（概率是
364
365
{\displaystyle {\frac {364}{365}}}
363
365
{\displaystyle {\frac {363}{365}}}
阶乘 可写成如下形式：
365
!
365
n
(
365
−
n
)
!
{\displaystyle {\frac {365!}{365^{n}(365-n)!}}}
p
(
n
)
{\displaystyle p(n)}
n
{\displaystyle n}
p
(
n
)
=
1
−
p
¯
(
n
)
=
1
−
365
!
365
n
(
365
−
n
)
!
{\displaystyle p(n)=1-{\bar {p}}(n)=1-{\frac {365!}{365^{n}(365-n)!}}}
当
n
≤
365
{\displaystyle n\leq 365}
n
>
365
{\displaystyle n>365}
1 。
当
n
=
23
{\displaystyle n=23}
0.507 。其他人数对应的概率用上述算法可得出：
n
{\displaystyle n}
p
(
n
)
{\displaystyle p(n)}
10
12%
20
41%
30
70%
50
97%
100
99.99996%
200
99.9999999999999999999999999998%
300
1
−
(
7
×
10
−
73
)
{\displaystyle 1-(7\times 10^{-73})}
350
1
−
(
3
×
10
−
131
)
{\displaystyle 1-(3\times 10^{-131})}
≥
366
{\displaystyle \geq 366}
100%
比较 p(n) = 任意两人同生日的概率；q(n) = 和某人同生日的概率 注意所有人都是随机选出：作为对比，记
q
(
n
+
1
)
{\displaystyle q(n+1)}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
q
(
n
+
1
)
=
1
−
(
364
365
)
n
{\displaystyle q(n+1)=1-\left({\frac {364}{365}}\right)^{n}}
当
n
=
22
{\displaystyle n=22}
0.059 （约高于十七分之一）。如果房间内有
n
{\displaystyle n}
50% ，
n
{\displaystyle n}
253 。这与任意两人同生日仅需23 人的结果形成了巨大的反差，也是引发“悖论”错觉的根源。
保罗·哈莫斯 在自传中认为，生日问题只用计算数值来解释是一种悲哀，因此给出了一种概念数学方法的解释推导。乘积：
∏
k
=
1
n
−
1
(
1
−
k
365
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{\frac {k}{365}}\right)}
等于
1
−
p
(
n
)
{\displaystyle 1-p(n)}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
n
{\displaystyle n}
平均数不等式 可知：
∏
k
=
1
n
−
1
(
1
−
k
365
)
n
−
1
<
1
n
−
1
∑
k
=
1
n
−
1
(
1
−
k
365
)
{\displaystyle {\sqrt[{n-1}]{\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{\frac {k}{365}}\right)}}<{\frac {1}{n-1}}\sum _{k=1}^{n-1}\left(1-{\frac {k}{365}}\right)}
再利用已知的1 到
n
−
1
{\displaystyle n-1}
n
(
n
−
1
)
/
2
{\displaystyle n(n-1)/2}
1
−
x
<
e
−
x
{\displaystyle 1-x<e^{-x}}
∏
k
=
1
n
−
1
(
1
−
k
365
)
<
(
1
n
−
1
∑
k
=
1
n
−
1
(
1
−
k
365
)
)
n
−
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{\frac {k}{365}}\right)<\left({\frac {1}{n-1}}\sum _{k=1}^{n-1}\left(1-{\frac {k}{365}}\right)\right)^{n-1}}
=
(
1
−
n
730
)
n
−
1
<
(
e
−
n
/
730
)
n
−
1
=
e
−
(
n
2
−
n
)
/
730
{\displaystyle =\left(1-{\frac {n}{730}}\right)^{n-1}<\left(e^{-n/730}\right)^{n-1}=e^{-(n^{2}-n)/730}}
如果仅当：
n
2
−
n
>
730
ln
2
≈
505.997
…
{\displaystyle n^{2}-n>730\ln 2\approx 505.997\dots }
最后一条表达式的值会小于0.5 。其中
ln
{\displaystyle \ln }
自然对数 。其阈值略小于506 ，如果取
n
2
−
n
=
506
{\displaystyle n^{2}-n=506}
n
=
23
{\displaystyle n=23}
在推导中，哈莫斯写道：
> 这推论是基于数学系学生必须掌握的重要工具。生日问题曾是用来演示纯思维如何胜过机械计算的绝妙例子：这些不等式一两分钟就写得出，但乘法运算就要更多时间且更易出错，无论使用的工具是铅笔还是老式电脑。计算器不能提供的是理解力、数学才能、或产生更高级、普适化理论的坚实基础。[ 1]
然而哈莫斯的推论只显示至少 超过23 人就能保证平等机会下的生日匹配概率过半。因为不知道给出的不等式界限有多严格，无法直接藉此计算过程确定
n
=
22
{\displaystyle n=22}
Microsoft Excel 等个人电脑程序在几分钟内把整幅机率分布 图画出来，对问题答案一目了然。
用逼近公式（红线）与真实概率（黑线）的比较 生日问题可以推广：假设有
n
{\displaystyle n}
N
{\displaystyle N}
N
{\displaystyle N}
365 或其他正整数）。
记
p
(
n
)
{\displaystyle p(n)}
p
(
n
)
∼
1
−
exp
(
−
n
2
2
N
)
{\displaystyle p(n)\sim 1-\exp \left(-{\frac {n^{2}}{2N}}\right)}
下面泛化生日问题：给定从符合连续/离散均匀分布 的区间
[
1
,
d
]
{\displaystyle [1,d]}
n
{\displaystyle n}
2 个数字相同的概率
p
(
n
;
d
)
{\displaystyle p(n;d)}
类似的结果可以根据上面的推导得出：
p
(
n
;
d
)
=
{
1
−
∏
k
=
1
n
−
1
(
1
−
k
d
)
n
≤
d
1
n
>
d
{\displaystyle p(n;d)={\begin{cases}1-\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{\frac {k}{d}}\right)&n\leq d\\1&n>d\end{cases}}}
p
(
n
;
d
)
≈
1
−
e
−
n
(
n
−
1
)
2
d
{\displaystyle p(n;d)\approx 1-e^{-{\frac {n(n-1)}{2d}}}}
n
(
p
;
d
)
≈
2
d
ln
(
1
1
−
p
)
+
1
2
{\displaystyle n(p;d)\approx {\sqrt {2d\ln \left({\frac {1}{1-p}}\right)}}+{\frac {1}{2}}}
若只探讨特定数值（如自己的生日）被选中的概率
q
(
n
;
d
)
{\displaystyle q(n;d)}
q
(
n
;
d
)
=
1
−
(
d
−
1
d
)
n
{\displaystyle q(n;d)=1-\left({\frac {d-1}{d}}\right)^{n}}
反算问题可以表述为：对于确定的概率
p
{\displaystyle p}
找出最大的
n
(
p
)
{\displaystyle n(p)}
p
(
n
)
{\displaystyle p(n)}
p
{\displaystyle p}
找出最小的
n
(
p
)
{\displaystyle n(p)}
p
(
n
)
{\displaystyle p(n)}
p
{\displaystyle p}
这个问题有如下逼近公式：
n
(
p
)
≈
2
⋅
365
ln
(
1
1
−
p
)
+
1
2
{\displaystyle n(p)\approx {\sqrt {2\cdot 365\ln \left({\frac {1}{1-p}}\right)}}+{\frac {1}{2}}}
指定概率
p
{\displaystyle p}
逼近公式推导
n
{\displaystyle n}
估计
N
=
365
{\displaystyle N=365}
p
{\displaystyle p}
n
{\displaystyle n}
n
<
N
=
365
{\displaystyle n<N=365}
n
↓
{\displaystyle n\downarrow }
p
(
n
↓
)
{\displaystyle p(n\downarrow )}
n
↑
{\displaystyle n\uparrow }
p
(
n
↑
)
{\displaystyle p(n\uparrow )}
0.01
(
0.14178
N
)
+
0.5
{\displaystyle (0.14178{\sqrt {N}})+0.5}
3.20864
3
0.00820
4
0.01636
0.05
(
0.32029
N
)
+
0.5
{\displaystyle (0.32029{\sqrt {N}})+0.5}
6.61916
6
0.04046
7
0.05624
0.1
(
0.45904
N
)
+
0.5
{\displaystyle (0.45904{\sqrt {N}})+0.5}
9.27002
9
0.09462
10
0.11695
0.2
(
0.66805
N
)
+
0.5
{\displaystyle (0.66805{\sqrt {N}})+0.5}
13.26302
13
0.19441
14
0.22310
0.3
(
0.84460
N
)
+
0.5
{\displaystyle (0.84460{\sqrt {N}})+0.5}
16.63607
16
0.28360
17
0.31501
0.5
(
1.17741
N
)
+
0.5
{\displaystyle (1.17741{\sqrt {N}})+0.5}
22.99439
22
0.47570
23
0.50730
0.7
(
1.55176
N
)
+
0.5
{\displaystyle (1.55176{\sqrt {N}})+0.5}
30.14625 30
0.70632 31
0.73045 （正确值：
n
↓=
29
{\displaystyle n\downarrow =29}
n
↑=
30
{\displaystyle n\uparrow =30}
0.8
(
1.79412
N
)
+
0.5
{\displaystyle (1.79412{\sqrt {N}})+0.5}
34.77666
34
0.79532
35
0.81438
0.9
(
2.14597
N
)
+
0.5
{\displaystyle (2.14597{\sqrt {N}})+0.5}
41.49862 41
0.90315 42
0.91403 （正确值：
n
↓=
40
{\displaystyle n\downarrow =40}
n
↑=
41
{\displaystyle n\uparrow =41}
0.95
(
2.44775
N
)
+
0.5
{\displaystyle (2.44775{\sqrt {N}})+0.5}
47.26414 47
0.95477 48
0.96060 （正确值：
n
↓=
46
{\displaystyle n\downarrow =46}
n
↑=
47
{\displaystyle n\uparrow =47}
0.99
(
3.03485
N
)
+
0.5
{\displaystyle (3.03485{\sqrt {N}})+0.5}
58.48081 58
0.99166 59
0.99299 （正确值：
n
↓=
56
{\displaystyle n\downarrow =56}
n
↑=
57
{\displaystyle n\uparrow =57}
注意：某些带有洋红色 标记的值，说明逼近公式不 总是严丝合缝地对应真实情况。* 生日问题可以通过计算机代码进行经验性模拟：
days := 365 ;
numPeople := 1 ;
prob := 0.0 ;
while prob < 0.5 do
begin
numPeople := numPeople + 1 ;
prob := 1 - (( 1 - prob ) * ( days - ( numPeople - 1 )) / days ) ;
writeln ( 'Number of people: ' , numPeople ) ;
writeln ( 'Prob. of same birthday: ' , prob ) ;
end ;
生日问题也可以在 Microsoft Excel 等电子表格软件中进行模拟验证：
人数
人数对应的生日相同的概率公式
1
1
`=1-PERMUT(365,A1)/POWER(365,A1)`
2
`=A1+1`
`=1-PERMUT(365,A2)/POWER(365,A2)`
3
`=A2+1`
`=1-PERMUT(365,A3)/POWER(365,A3)`
当拉取公式直至行数达到23 （即人数达到23 ）时，可以观察到概率结果开始超过50% 。
生日问题被广泛应用于检测哈希函数 的安全性：一个
N
{\displaystyle N}
哈希表 发生碰撞的预期测试次数不是
2
N
{\displaystyle 2^{N}}
2
N
/
2
{\displaystyle 2^{N/2}}
密码学散列函数 的生日攻击 策略中。
此外，生日问题隐含的理论早已在Schnabel（1938年）提出的捉放法 （capture-recapture）统计试验中得到了应用，常用来估计湖泊中的鱼类总数。
正如前文所述，现实世界人口的生日并非绝对平均分布。然而这种非均衡生日概率问题的数学边界也已得到深入解决与论证。[來源請求]
此问题的另外一个泛化是，求在
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
m
{\displaystyle m}
[ 2]
p
(
n
,
k
,
m
)
=
1
−
(
m
−
n
k
−
1
)
!
m
n
−
1
(
m
−
n
(
k
+
1
)
)
!
{\displaystyle p(n,k,m)=1-{\frac {(m-nk-1)!}{m^{n-1}(m-n(k+1))!}}}
若要找到两人生日相差
k
{\displaystyle k}
50% ，所需的人数表如下：
k
{\displaystyle k}
在
m
=
365
{\displaystyle m=365}
n
{\displaystyle n}
0
23
1
14
2
11
3
9
4
8
5
8
6
7
7
7
这意味着只须随机抽取7 个人，找到两人之间生日相差一周内的概率就会过半。[ 2]
星期二男孩问题：一个两孩家庭有一个男孩，他是星期二出生的，那么另一个孩子也是男孩的机率是多少？答：13/27 。[ 3] Zoe Emily Schnabel: "The estimation of the total fish population of a lake"（某湖中鱼类总量估计），美国数学月刊
M. Klamkin，D. Newman: "Extensions of the birthday surprise"（生日惊喜的扩充）, Journal of Combinatorial Theory 3（1967年）,279-282页。
D. Blom: "a birthday problem"（生日问题），美国数学月刊 80（1973年）,1141-1142页。这一论文证明了当生日按照平均分布，两个生日相同的概率最小。
^ 原文：The reasoning is based on important tools that all students of mathematics should have ready access to. The birthday problem used to be a splendid illustration of the advantages of pure thought over mechanical manipulation; the inequalities can be obtained in a minute or two, whereas the multiplications would take much longer, and be much more subject to error, whether the instrument is a pencil or an old-fashioned desk computer. What calculator s do not yield is understanding, or mathematical facility, or a solid basis for more advanced, generalized theories
^ 2.0 2.1 M. Abramson and W. O. J. Moser (1970) More Birthday Surprises , American Mathematical Monthly 77 , 856–858
^ Jesper Juul. Tuesday Changes Everything (a Mathematical Puzzle) . The Ludologist. [2022-05-01 ] . （原始内容 存档于2022-01-24）.
关于新加坡及亚洲学校数学奥林匹克的题目，请见「谢丽尔的生日」。
![{\displaystyle {\sqrt[{n-1}]{\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{\frac {k}{365}}\right)}}<{\frac {1}{n-1}}\sum _{k=1}^{n-1}\left(1-{\frac {k}{365}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b58d4bb69b800753a3ccc169e106edcfa5c09be)
![{\displaystyle [1,d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8d1b6f48afdfdbc57c99a612e441ab5d621964)
