皮亚诺存在性定理

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

数学中, 特别是在常微分方程的研究中,皮亚诺存在定理(又称为皮亚诺定理柯西-皮亚诺定理)是以数学家朱塞佩·皮亚诺的名字命名的一个定理。这个定理是常微分方程研究中的基本定理之一,保证了微分方程在一定的初始条件下的解的存在性。

历史[编辑]

这个定理最早由数学家朱塞佩·皮亚诺在1886年发表,但是他给出的证明是错误的。1890年他又发表了一个正确的运用逐次逼近法的证明。

定理[编辑]

DR × R 的一个开子集,以及一个连续函数

f\colon D \to \mathbb{R}

皮亚诺存在定理:定义在 D 上的一个一阶线性常微分方程(其中 (x_0, y_0) \in D

f\left(x,y(x)\right) = y'(x)
y\left(x_0\right) = y_0

必然有局部解。也就是说,必定存在一个关于 x_0邻域 I,以及一个函数:

z\colon I \to \mathbb{R}
满足  \forall x \in I ,\ \ f\left(x,z(x)\right)=z'(x)

相关定理[编辑]

皮亚诺存在定理可以和另外一个存在性定理皮卡-林德洛夫定理作比较。相比起皮亚诺存在定理,皮卡-林德洛夫定理对函数 f 的要求更严格,但结论也更强。皮卡-林德洛夫定理要求函数 f 局部地满足利普希茨条件,也就是说在任意一点 x 的附近,都有一个常数 K_x 和一个邻域 I_x,使得对于I_x中任意的ab两点,都有:

|f(a) - f(b)| \le K_x |a - b|

这个要求比单纯的连续性要高,但是得出的结论也更强了:皮卡-林德洛夫定理说明,在满足上述要求时,微分方程的局部解不仅存在而且是唯一的。

例子[编辑]

T>0为一个常数,考虑函数

h' = \left\vert h\right\vert^{\frac{1}{2}}, \ \ \ y(T)=0,其定义域设为  \left[0, T\right]

根据皮亚诺存在定理,由于函数f : x \to \left\vert x\right\vert^{\frac{1}{2}} \left[0, T\right]上连续,微分方程有解。但由于 f 在0处的导数为正无穷,f \left[0, 1\right]上不满足利普希茨条件,于是解不一定是唯一的。事实上:对于任意的0 <t_0 < T,定义为:当t \le t_0h(t)=(t-t_0)^2/4,当 t_0 \le t \le Ty=0的函数 h 都是微分方程的解,也就是说解有无穷多个。这个反例来源于一个物理模型:假设有一个漏水的容器,其水面高度(函数h)和时间的关系由以上的微分方程定义的话,那么由于事实上可以观测到漏水的过程,所以方程一定有解。但如果只知道容器在漏完水后的某个时刻的状态( y(T)=0)的话,是无法倒过来推测原来的水位有多高的(也就是说没有唯一解)。

参考来源[编辑]

  • G. Peano, Sull’integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine, Atti Accad. Sci. Torino, 21 (1886) 677–685.
  • G. Peano, Demonstration de l’intégrabilité des équations différentielles ordinaires, Mathematische Annalen, 37 (1890) 182–228.
  • W. F. Osgood, Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung, Monatsheft Mathematik,9 (1898) 331–345.
  • E.A. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955.