皮亚诺曲线

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皮亚诺曲线的構建

皮亚诺曲线(英語:Peano curve)是一条能够填满正方形的曲线。

1890年,意大利数学家朱塞佩·皮亞諾義大利語Giuseppe Peano)发明能填满一个正方形的曲线,叫做皮亚诺曲线,其构造方法如下:取一个正方形并且把它分出九个相等的小正方形,然后从左下角的正方形开始至右上角的正方形结束,依次把小正方形的中心用线段连接起来;下一步把每个小正方形分成九个相等的正方形,然后上述方式把其中中心连接起来……。将这种操作手续无限进行下去,最终得到的「极限情况的曲线」[註 1]就被称作皮亚诺曲线。這樣的曲線會填滿整個一開始給定的正方形。

在传统概念中,曲线的維度是1,正方形維度是2,且1維的曲線直覺上不能填滿2維的正方形。但是皮亚诺曲线正给出了反例。这说明我们对维数的认识是有缺陷的,有必要重新思考维数的定义。这就是分形几何考虑的问题。在分形几何中,维数可以是分数叫做分维。

此外,皮亚诺曲线是连续的但处处不可导的曲线。因此如果我们想要研究传统意义上的曲线,就必须加上可导的条件,以便排除像皮亚诺曲线这样的特例。

註釋[编辑]

  1. ^ 這裡的極限具有如下意義:對皮亞諾曲線構造的每個階段中的折線,我們可以以最自然的方式將其參數化成 , 使得 。而極限的曲線就是參數式為 的曲線。可以證明前述極限對每個 皆存在。

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