皮克定理

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給定頂點座標均是整點(或正方形格子點)的簡單多邊形皮克定理說明了其面積和內部格點數目、邊上格點數目的關係:

證明[编辑]

因為所有簡單多邊形都可切割為一個三角形和另一個簡單多邊形。考慮一個簡單多邊形,及跟有一條共同邊的三角形。若符合皮克公式,則只要證明加上亦符合皮克公式(I),與及三角形符合皮克公式(II),就可根據數學歸納法,對於所有簡單多邊形皮克公式都是成立的。

多邊形[编辑]

的共同邊上有個格點。

  • 的面積:
  • 的面積:
  • 的面積:

三角形[编辑]

證明分三部分:證明以下的圖形符合皮克定理:

  1. 所有平行於軸線的矩形;
  2. 以上述矩形的兩條鄰邊和對角線組成的直角三角形;
  3. 所有三角形(因為它們都可內接於矩形內,將矩形分割成原三角形和至多3個第二點提到的直角三角形)。

矩形[编辑]

設矩形長邊短邊各有,個格點:

直角三角形[编辑]

易見兩條鄰邊和對角線組成的兩個直角三角形全等,且,相等。設其斜邊上有個格點。

一般三角形[编辑]

逆运用前面对2个多边形的证明: 既然矩形符合皮克定理,直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P,T符合皮克公式,则 P加上T的PT亦符合皮克公式。 那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。 于是显然有,只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候,才会使得在直角三角形符合的同时,矩形也符合。

推廣[编辑]

  • 取格點的組成圖形的面積為一單位。在平行四邊形格點,皮克定理依然成立。套用於任意三角形格點,皮克定理則是
  • 對於非簡單的多邊形,皮克定理,其中表示歐拉特徵數
  • 高維推廣:Ehrhart多項式;一維:植樹問題。
  • 皮克定理和歐拉公式(等價

定理提出者[编辑]

Georg Alexander Pick,1859年生於維也納,1943年死於特萊西恩施塔特集中營

相關書籍[编辑]

外部連結[编辑]