皮卡定理

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皮卡定理是两个不同的数学定理的泛称,由法国数学家埃米爾·皮卡证明。这两个定理都涉及解析函数值域

定理的表述[编辑]

小定理[编辑]

函数exp(1/z),在z=0处具有本性奇点。z的色相表示它的辐角,而发光度则表示绝对值。这个图像说明了接近于奇点时,可以取得任何非零的值。

皮卡小定理说明,如果函数f(z)是整函数且不是常数,则f(z)的值域或者是整个复平面,或者只去掉一个点。 这个定理在1879年证明。它强化了刘维尔定理:任何不是常数的整函数都一定是无界的。

皮卡的原始证明利用了模函数英语Modular lambda function[1]证明概要如下:若的值域不包含复平面上的两个点,不失一般性地,可以假设的值域不包含0和1,设是其值域中的点,在这个点附近,可以选取模函数的某个单值解析分支,记作。利用模函数的通用覆盖性单值性定理英语Monodromy_theorem,可以将点()附近定义的复合映射解析延拓到整个复平面上,从而得到一个在复平面上单值解析但有界的函数。根据刘维尔定理,该函数为常函数。因此也是常函数。[2]

大定理[编辑]

皮卡大定理说明,如果f(z)在点w具有本性奇点,那么在任何含有w开集中,f(z)都将取得所有可能的复数值,最多只有一个例外。

这个定理强化了魏尔施特拉斯-卡索拉蒂定理,它只保证了f的值域在复平面内是稠密的。

评论[编辑]

  • 这个“唯一的例外”实际上在两个定理中都是需要的:指数函数ez是一个整函数,永远不能是零。e1/z在0处具有本性奇点,但仍然不能取得零。
  • 皮卡大定理在一个更一般的形式中也是正确的,可以应用于亚纯函数:如果M是一个黎曼曲面wM上的一个点,P1C = C∪{∞}表示黎曼球面f : M \ {w} → P1C是一个全纯函数,在w处具有本性奇点,那么在M的任何含有w的开子集中,函数f都可以取得除了两个点以外的所有P1C的点。
例如,亚纯函数f(z) = 1/(1 − exp(1/z))在z = 0处具有本性奇点,在0的任何邻域内都无穷多次取得值∞;但它无法取得0或1的值。
  • 皮卡小定理可以从皮卡大定理推出,因为整函数要么是多项式,要么在无穷远处具有本性奇点。

参考文献[编辑]

  1. ^ Sanford L. Segal. Nine Introductions in Complex Analysis. Elsevier. 2007: 35. ISBN 9780080550763. 
  2. ^ 李忠. 复分析导引. 北京大学出版社. 2004: 15. ISBN 9787301077986.